2.2.1 圆的方程
A组基础巩固
1．圆心是O(－3，4)，半径长为5的圆的方程为( )
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5
B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
解析：将O(－3，4)，r＝5代入圆的标准方程可得．
答案：D
2．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为( ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
解析：由已知，得圆的半径长r＝|3×2＋4×1＋5|
32＋（－4）2
＝
15
5
＝3，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
答案：C
3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5
B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5
C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5
D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5
解析：直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C (－1，2)， 所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.
答案：C
4．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )
A ．以(a ，b )为圆心的圆
B ．以(－a ，－b )为圆心的圆
C ．点(a ，b )
D ．点(－a ，－b )
解析：配方，得(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，所以方程表示点(－a ，－b )．
答案：D
5．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径长分别为( )
A ．(4，－6)，16
B ．(2，－3)，4
C ．(－2，3)，4
D ．(2，－3)，16
解析：由x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0，得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，
故圆心为(－2，3)，半径长为4.
答案：C
6．点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则a 的取值范围为________．
解析：由(1－a )2＋(1＋a )2<4，所以2＋2a 2<4.
所以a 2<1.
答案：(－1，1)
7．若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是________．
解析：由题意可知⎩
⎪⎨⎪⎧（－1）2＋12－4m >0，1＋（－1）2－1－1＋m >0， 解得0<m <12. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 8．点P (a ，10)与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2的位置关系是________．
解析：（a －1）2＋92>2，即点P (a ，10)在圆外．
答案：在圆外
9．点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2t 1＋t 2，1－t 21＋t 2与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________． 解析：将点P 坐标代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－t 21＋t 22＝4t 2＋（1－t 2）2（1＋t 2）2＝（1＋t 2）2
（1＋t 2）2＝1，所以点P 在圆上．
答案：在圆上
10．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1，5)，B (－2，－2)，C (5，5)，求其外接圆的方程．
解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
因圆过A ，B ，C 三点，故得
⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0.
解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，
所以△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.
B 级 能力提升
11．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )
A ．m <12
B ．m <0
C ．m >12
D ．m ≤12
解析：由D 2＋E 2－4F >0，
得(－1)2＋12－4m >0，即m <12
. 答案：A
12．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程为( )
A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12
B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12
C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2
D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2
解析：由x 2＋y 2－2x －1＝0，得(x －1)2＋y 2＝2，
则圆心为(1，0)，半径长r ＝ 2.
设圆心(1，0)关于直线2x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x 1，y 1)，
则由⎩⎪⎨⎪⎧y 1
x 1－1＝－12，2×1＋x 12－y 12＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3，y 1＝2. 故x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝2. 答案：C
13．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方
程是________．
解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，
圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1，0)，
则|PA |2＋1＝|PB |2，
所以(x －1)2＋y 2＝2.
答案：(x －1)2＋y 2＝2
14．已知点M 与两个定点A (1，0)，B (3，2)的距离的比值为13，求点M 的轨迹． 解：在给定的坐标系中，设M (x ，y )是满足条件的任意一点，则
MA MB ＝13. 由两点间的距离公式，得
（x －1）2＋y 2（x －3）2＋（y －2）2＝13. 两边平方并化简，得x 2＋y 2－32x ＋12y －12
＝0， 配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝98
. 所以所求轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，－14，半径为324的圆． 15．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．
解析：因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0，0)对称，所以所求圆的圆心为(2，0)，半径为
5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5. 答案：(x －2)2＋y 2＝5
16．已知圆：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，求实数m 的值．
解：将原点坐标(0，0)代入圆的方程，得2m 2－6m ＋4＝0，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.
当m ＝1时，原方程为x 2＋y 2＝0，不表示圆，故舍去．
当m＝2时，原方程为x2＋y2－2x＋2y＝0表示圆，故所求的实数m的值为2.
17.如图所示，已知点A(0，2)和圆C：(x－6)2＋(y－4)2＝8，M和P分别是x轴和圆C上的动点，求|AM|＋|MP|的最小值．
解：如图所示，先作点A关于x轴的对称点A′(0，－2)，连接A′和圆心C，A′C交x 轴于点M，交圆C于点P，这时|AM|＋|MP|最小．
因为A′(0，－2)，C(6，4)，
所以|A′C|＝（6－0）2＋（4＋2）2＝
6 2.
所以|A′P|＝|A′C|－R＝62－22＝42(R为圆的半径)．
所以|AM|＋|MP|的最小值是4 2.。