【解析】 (1)法一：从数的角度，若选用一般式：设圆的方
程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心(－D2 ，－E2)，
52＋22＋5D＋2E＋F＝0， ∴32＋22＋3D＋2E＋F＝0，
2×－D2 －－E2－3＝0.
解之，得 DE＝＝－－180，， F＝31.
3．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 D2＋E2
－4F>0 ，其中圆心为 －D2 ，－E2，半径为 r＝
D2＋E2－4F
2
.
4．点与圆的位置关系 设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0) ①点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2 ＝r2； ②点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2 > r2； ③点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 < r2.
由a42－＋3aa＋2>0
，
a∈R
解得－2
3
32 <a<
3 3
.
∴－2
3
32 <a< 3
3 .
故 a 的取值范围是(－233，23 3)．
解法二：由题意，A 在圆外，则需满足
a2＋22－4a2 x2＋y2＋ax＋2y＋a2>0，
将
A(1,2)代入，得－2 3
32 <a< 3
∴圆的一般方程为 x2＋y2－8x－10y＋31＝0.
法二：从形的角度，AB 为圆的弦，由平面几何知识 知，圆心 P 应在 AB 中垂线 x＝4 上，则由2x＝x－4y，－3＝
得圆心 P(4,5)， ∴半径 r＝|PA|＝ 10. ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
(2)设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25， 如图，∵|AB|＝10－2＝8，∴|AD|＝4.
，解得ar2＝＝10 ，所以所求圆的
4．过圆 x2＋y2＝4 外一点 P(4,2)作圆的切线，切点为 A、B，则△APB 的外接圆方程为________．
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5 解析 连接 OA、OB，由平面几何知识可知 O、A、 P、B 四点共圆，故△APB 的外接圆即为以 OP 为直径的 圆，即圆心为 C(2,1)，半径 r＝12|OP|＝|OC|＝ 5，故圆的 方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
3．(2011·辽宁文)已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点， 圆心在 x 轴上，则 C 的方程为________．
答案 (x－2)2＋y2＝10 解析 依题意设所求圆的方程为：(x－a)2＋y2＝r2， 把所给两点坐标代入方程得：
5－a2＋1＝r2 1－a2＋9＝r2 方程为 (x－2)2＋y2＝10.
题型一 方程与圆
例 1 已知方程 x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9 ＝0 表示一个圆.
(1)求实数 m 的取值范围； (2)求该圆半径 r 的取值范围； (3)求圆心的轨迹方程．
【解析】 (1)方程表示圆的充要条件是 D2＋E2－
4F>0，即 4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)>0，所以－17
思考题 1 已知圆的方程为 x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0， 一定点 A(1,2)，要使过定点 A 的圆的切线有两条，求 a 的 取值范围．
【思路】 ①对方程配方；②点在圆外的条件．
【解析】 解法一：将圆的方程配方得 (x＋a2)2＋(y＋1)2＝4－43a2， ∴圆心 C 的坐标为(－a2，－1)，半径 r＝ 4－43a2， 条件是 4－3a2>0，过点 A(1,2)所作圆的切线有两条， 则点 A 必在圆外，∴|AC|>r. 即 1＋a22＋2＋12> 4－43a2， 化简得 a2＋a＋9>0，
【答案】 (1)－17<m<1 (2)0<r≤477 (3)y＝4(x－ 3)2－1(270<x<4)
探究 1 (1)二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表 示圆的充要条件是 D2＋E2－4F>0.
(2)研究圆的相关概念以及点与圆的位置关系问题， 常把一般式化为标准式，一是利用其各量的意义来确定各 量，二是将点代入方程通过判定方程的取值或解不等式来 讨论点与圆的位置关系问题．
<m<1.
(2)r＝ －7m－372＋176≤477，
所以
0<r≤4 7
7 .
(3)设圆心坐标为(x，y)，则xy＝ ＝m4m＋2－3，1. 消去 m，得 y＝4(x－3)2－1. 因为－17<m<1， 所以270<x<4，即轨迹为抛物线的一段， y＝4(x－3)2－1(270<x<4)．
第14课时 圆的方程
2012·考纲
1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程.
请注意！
圆是常见曲线，也是解析几何中的重点内容，几乎每 年高考都有一至二题，以选择填空形式出现，难度不大， 主要考查圆的方程(标准方程、一般方程)及圆的有关性质.
1．圆的定义 在平面内，到 定点 的距离等于 定长 的点的集合 叫 圆． 2．圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中 (a，b) 为圆心， r 为 半径．
∵|AC|＝5，∴|CD|＝3.∴a＝6，b＝±3. ∴所求圆的方程为 (x－6)2＋(y－3)2＝25 或(x－6)2＋(y＋3)2＝25.
3，
故 a∈(－233，233)．
【答案】
(－2
3 的方程
例 2 根据下列条件求圆的方程： (1)经过 A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线 2x－y－3＝0 上； (2)半径为 5 且与 x 轴交于 A(2,0)，B(10,0)两点； (3)圆心在原点，且圆周被直线 3x＋4y＋15＝0 分成 1：2 两部分．
1．方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的条件是
()
1 A.4<m<1
B．m>1
C．m<14
D．m<14或 m>1
答案 D
解析 (x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1 表示圆，则 4m2－5m＋1>0，解得 m<14或 m>1.
2．圆 x2＋y2－6x＋4y＝0 的周长是________． 答案 2 13π 解析 配方得：(x－3)2＋(y＋2)2＝13， ∴r＝ 13，∴圆的周长 c＝2π· 13＝2 13π.