集合与简易逻辑一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题中只有一项符合题目要求)1.集合M={x|lg x>0},N={x|x2≤4},则M∩N=( )A.(1,2) B.[1,2)C.(1,2] D.[1,2]2.已知全集U=Z,集合A={x|x2=x},B={-1,0,1,2},则图中的阴影部分所表示的集合等于()A.{-1,2} B.{-1,0}C.{0,1} D.{1,2}3.已知Z A={x∈Z|x<6},Z B={x∈Z|x≤2},则A与B的关系是()A.AB B.ABC.A=B D.Z A Z B4.已知集合A为数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列选项中,p是q的必要不充分条件的是()A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>dB.p:a>1,b>1,q:f(x)=a x-b(a>0,且a≠1)的图像不过第二象限C.p:x=1,q:x2=xD.p:a>1,q:f(x)=log a x(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上为增函数6.已知命题p:所有有理数都是实数;命题q:正数的对数都是负数.则下列命题中为真命题的是()A.(非p)或q B.p且qC.(非p)且(非q) D.(非p)或(非q)7.下列命题中,真命题是( )B .x ∈R,2x >x 2C .a +b =0的充要条件是a b =-1D .a >1,b >1是ab >1的充分条件8.已知命题p :“x >3”是“x 2>9”的充要条件,命题q :“a c 2>b c 2”是“a >b ”的充要条件,则( )A .“p 或q ”为真B .“p 且q ”为真C .p 真q 假D .p ,q 均为假9.命题p :x ∈R ,x 2+1>0,命题q :θ∈R ,sin 2θ+cos 2θ=,则下列命题中真命题是( )A .p ∧qB .(非p )∧qC .(非p )∨qD .p ∧(非q )10.已知直线l 1:x +ay +1=0,直线l 2:ax +y +2=0,则命题“若a =1或a =-1,则直线l 1与l 2平行”的否命题为( )A .若a ≠1且a ≠-1,则直线l 1与l 2不平行B .若a ≠1或a ≠-1,则直线l 1与l 2不平行C .若a =1或a =-1,则直线l 1与l 2不平行D .若a ≠1或a ≠-1,则直线l 1与l 2平行11.命题“x ∈[1,2],x 2-a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A .a ≥4B .a ≤4C .a ≥5D .a ≤512.设x ,y ∈R ,则“|x |≤4且|y |≤3”是“x 216+y 29≤1”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13.已知集合A={1,a,5},B={2,a2+1}.若A∩B有且只有一个元素,则实数a的值为________.14.命题“x∈R,x2+ax-4a<0”为假命题,是“-16≤a≤0”的________条件.15.设全集U=A∪B={x∈N*|lg x<1},若A∩(U B)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合B=________.16.若f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),x1∈[-1,2],x0∈[-1,2],使g(x1)=f(x0),则a的取值范围是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m ∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;(2)若A R B,求实数m的取值范围.18.(本小题满分12分)已知命题“x∈R,|x-a|+|x+1|≤2”是假命题,求实数a的取值范围.19.(本小题满分12分)已知集合E={x||x-1|≥m},F={x|10x+6>1}.(1)若m=3,求E∩F;(2)若E∪F=R,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)已知全集U=R,非空集合A={x|x-2x-3a+1<0},B={x|x-a2-2x-a<0}.(1)当a=12时,求(U B)∩A;(2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.21.(本小题满分12分)设集合A为函数y=ln(-x2-2x+8)的定义域,集合B为函数y=x+1x+1的值域,集合C为不等式(ax-1a)(x+4)≤0的解集.(1)求A∩B;(2)若C R A,求a的取值范围.22.(本小题满分12分)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x0满足不等式x20+2ax0+2a≤0,若命题“p或q”是假命题,求a的取值范围.答案:一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题中只有一项符合题目要求)1.答案C解析因为M={x|x>1},N={x|-2≤x≤2},所以M∩N={x|1<x≤2}=(1,2].故选C项.2解析依题意知A={0,1},(U A)∩B表示全集U中不在集合A中,但在集合B中的所有元素,故图中的阴影部分所表示的集合等于{-1,2},选A.3.答案A4.D.既不充分也不必要条件答案B解析∵“A∩{0,1}={0}”得不出“A={0}”,而“A={0}”能得出“A∩{0,1}={0}”,∴“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件.5.解析B选项中,当b=1,a>1时,q推不出p,因而p为q的充分不必要条件.C选项中,q为x=0或1,q不能够推出p,因而p为q的充分不必要条件.D选项中,p、q可以互推,因而p为q的充要条件.故选A.6.答案D解析由于命题p是真命题,命题q是假命题,因此,命题绨q是真命题,于是(绨p)或(绨q)是真命题.7.答案D解析∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质,得ab>1.即a>1,b>1ab>1. 8.答案A解析由x>3能够得出x2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由ac2>bc2能够推出a>b,反之,因为1c2>0,所以由a>b能推出ac2>bc2成立,故命题q是真命题.因此选A.9.答案D解析易知p为真,q为假,非p为假,非q为真.由真值表可知p∧q假,(非p)∧q假,(非p)∨q假,p∧(非q)真,故选D.10.答案A解析命题“若A,则B”的否命题为“若绨A,则绨B”,显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”,所以选A.11.答案C解析命题“x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4,故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4,+∞)的非空真子集,正确选项为C.12.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13.答案0或-2解析若a=2,则a2+1=5,A∩B={2,5},不合题意舍去.若a2+1=1,则a=0,A∩B={1}.若a2+1=5,则a=±2.而a=-2时,A∩B={5}.若a2+1=a,则a2-a+1=0无解.∴a=0或a=-2.14.答案充要解析∵“x∈R,x2+ax-4a<0”为假命题,∴“x∈R,x2+ax-4a≥0”为真命题,∴Δ=a2+16a≤0,即-16≤a≤0.故为充要条件.15.答案 {2,4,6,8}解析 A ∪B ={x ∈N *|lg x <1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A ∩(U B )={m |m =2n +1,n =0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9},∴B ={2,4,6,8}.16.答案 (0,12]解析 由于函数g (x )在定义域[-1,2]内是任意取值的,且必存在x 0∈[-1,2],使得g (x 1)=f (x 0),因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集.函数f (x )的值域是[-1,3],函数g (x )的值域是[2-a,2+2a ],则有2-a ≥-1且2+2a ≤3,即a ≤12,又a >0,故a 的取值范围是(0,12].三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 答案 (1)2。
(2)(-∞,-3)∪(5,+∞)解析 由已知得:A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |m -2≤x ≤m +2}.(1)∵A ∩B =[0,3],∴⎩⎨⎧ m -2=0,m +2≥3.∴⎩⎨⎧m =2,m ≥1.∴m =2,即实数m 的值为2. (2)R B ={x |x <m -2或x >m +2}.∵A R B ,∴m -2>3或m +2<-1.∴m >5或m <-3.∴实数m 的取值范围是(-∞,-3)∪(5,+∞).18. 答案 (-∞,-3)∪(1,+∞)解析 依题意知,对任意x ∈R ,都有|x -a |+|x +1|>2;由于|x -a |+|x +1|≥|(x -a )-(x +1)|=|a +1|,因此有|a +1|>2,a +1<-2或a +1>2,即a <-3或a >1.所以实数a 的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞).19. 答案 (1){x |-6<x ≤-2} (2)m ≤3解析 (1)当m =3时,E ={x ||x -1|≥3}={x |x ≤-2或x ≥4},F ={x |10x +6>1}={x |x -4x +6<0}={x |-6<x <4}. ∴E ∩F ={x |x ≤-2或x ≥4}∩{x |-6<x <4}={x |-6<x ≤-2}.(2)∵E ={x ||x -1|≥m },①当m ≤0时,E =R ,E ∪F =R ,满足条件.②当m >0时,E ={x |x ≤1-m 或x ≥1+m },由E ∪F =R ,F ={x |-6<x <4},∴⎩⎨⎧ 1-m ≥-6,1+m ≤4,m >0,解得0<m ≤3.综上,实数m 的取值范围为m ≤3.20. 答案 (1){x |94≤x <52}(2)[-12,13)∪(13,3-52]解析 (1)当a =12时,A ={x |x -2x -52<0}={x |2<x <52},B ={x |x -94x -12<0}={x |12<x <94}, ∴U B ={x |x ≤12或x ≥94}.∴(U B )∩A ={x |94≤x <52}.(2)∵a 2+2>a ,∴B ={x |a <x <a 2+2}.①当3a +1>2,即a >13时,A ={x |2<x <3a +1}.∵p 是q 的充分条件,∴AB .∴⎩⎨⎧a ≤2,3a +1≤a 2+2,即13<a ≤3-52. ②当3a +1=2,即a =13时,A =,不符合题意.③当3a +1<2,即a <13时,A ={x |3a +1<x <2},由AB ,得⎩⎨⎧a ≤3a +1,a 2+2≥2,∴-12≤a <13. 综上所述,实数a 的取值范围是[-12,13)∪(13,3-52].21. 答案 (1)(-4,-3]∪[1,2) (2)[-22,0)解析 (1)由-x 2-2x +8>0,解得A =(-4,2). 又y =x +1x +1=(x +1)+1x +1-1, 所以B =(-∞,-3]∪[1,+∞).所以A ∩B =(-4,-3]∪[1,2).(2)因为R A =(-∞,-4]∪[2,+∞),由(ax -1a )(x +4)≤0,知a ≠0.①当a >0时,由(x -1a 2)(x +4)≤0,得C =[-4,1a 2],不满足C R A ; ②当a <0时,由(x -1a 2)(x +4)≥0,得C =(-∞,-4]∪[1a 2,+∞),欲使C R A ,则1a 2≥2,解得-22≤a <0或0<a ≤22.又a <0,所以-22≤a <0.综上所述,所求a 的取值范围是[-22,0).22. 答案{a |a >2或a <-2}解析 由2x 2+ax -a 2=0,得(2x -a )(x +a )=0.∴x =a 2或x =-a .∴当命题p 为真命题时|a 2|≤1或|-a |≤1,∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20+2ax 0+2a ≤0”,即抛物线y =x 2+2ax +2a 与x 轴只有一个交点,∴Δ=4a 2-8a =0,∴a =0或a =2.∴当命题q为真命题时,a=0或a=2.∴命题“p或q”为真命题时,|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题,∴a>2或a<-2.即a的取值范围为{a|a>2或a<-2}.。