（1）3x 4 y
（2）x2 y2
（3）y 2 x 1
解（法31)
可看作圆
x2 ( y 1)2 1上的点与P(1, 2)两点的
连线的斜率最值，结合图形可求解
3 无最大值，最小值是4/3
4
y 1 ox
P(1,2)
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6
例2．若关于x的方程x m 4 x2
解：y x2 2x 表示圆(x+1)2+y2=1(y≥0)在x轴上 方部分，
y=-x+m表示斜率为-1的平行线,如图 y
当直线与半圆相切时, m 2 1
当直线过A(-1,-1),m=0
0 m 2 1 精心整理
x O
8
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题：
例3：已知定点A1,0, B1,0和圆x 32 y 42 4
数解，求m的取值范围.
有两个不同的实
解法
令y 1
x
m,y2
4 x2
方程有两解
y
直线y=x+m曲线 y 4 x2 有两个交点，
注意到曲线 y 4 x2 是半圆
结合图形可知：2 m 2 2
l1 A l l2
o
Bx
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7
练习：已知直线y=-x+m与曲线y x2 2x 有两个 不同的交点，求m的取值范围。
xa
(3)求x 2 y的最大值和最小值；
ax+by形式的最值问题可以转化为动直线截距的最
值问题
令ax+by=m，则精心整y理=(-ax+m)/b=
a b
x
m b
2
例1.已知实数 x, y满足x2 y2 4, 求y x的取值范围.
解：
令y x b,即y x b
y
则b可视为直线y x b的纵截距
x2 y2有最值。
易求得P
9 5
, 12 5
时,x2
y2最小为20
求得P
21 , 5
28 5
时,x2
y2最大为100
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10
与圆有关的最值问题
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新英学校高中数学组 1
已知实数x、y满足方程x2 y2 6x 4 y 12 0. (1)求x2 y2的最大值和最小值.
x a2 y b2 最值问题可转化为圆上的点到已知定点（a,b）的距离
的最值问题.
(2)求 y 的最大值和最小值； x
y b 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题。 x a 令 y b =k，则y-b=k(x-a)
（1）3x 4 y
（2）x2 y2
（3）y 2 x 1
法解（二2：) x2 y2 ( x2 y2 )2可看作圆 x2 ( y 1)2 1上的点到坐标原点距离 的平方的最值，亦可求解
最大值是4，最小值是0
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y
1
ox
5
练习1：求实数x, y满足x2 ( y 1)2 1, 求下列各式的最值：
又x2 y2 4表示一个圆，
O
x
由图象可知，切线的纵截距最大与最小，
易求得切线的截距为 2 2， y x的最大值为2 2，最小值为 2 2
注：ax+by形式的最值问题可以转化为动直线截距
的最值问题
令ax+by精=心整m理 ，则y=(-ax+m)/bba=x
m 3
b
练习1：求实数x, y满足x2 ( y 1)2 1, 求下列各式的最值：
上的动点P，求使 PA 2 PB 2 最值时点P的坐标。
解：设P x, y
PA 2 PB 2 x 12 y2 x 12 y2
2 x2 y2 1
上式中x2 y2相当于在 x 32 y 42 4
上的点P到原点O的距离精心整的理 平方。
9
作图不难知道，当O0,0, P x, y,3, 4共线时,
（1）3x 4 y
（2）x2 y2
（3）y 2 x 1
解法（二1）：设3x 4 y t,直线与圆相切时取最值
于是 3 0 41 t 5
1, t 4
5,t 9或 1y
3x 4 y的最大值为9，最小值为1
1
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o
x
4
练习1：求实数x, y满足x2 ( y 1)2 1, 求下列各式的最值：