江苏省新海高级中学2013届高三10月学情调研数学试卷（理科）2012 10 11时间：120分钟 命题人：杨绪成 审核人：顾淑建一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．设集合A={}{}21,2,3,2,3B a a -=++，若{}3A B ⋂=,则实数a 的值为2．若幂函数()f x 的图像经过点()4,2A ,则它在A 点处的切线的斜率为3.已知函数()()()2,125,1x ax x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若()()20f f =，则实数a = 4．将函数2sin 33y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图像对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为 .5. 已知直线x a =与曲线2y x =和ln y x =分别交与M,N 两点，则MN 的最小值为_____ 6. 已知集合(){}21,A x x a a x a R =+≤+∈，若A 中的所有的整数元素和为28，则a 的取值范围是7. 已知命题p ：()13xf x a =-⋅在(]0,∞-∈x 上有意义，命题Q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域为R ．如果p 和Q 有且仅有一个正确，则a 的取值范围 ．8. 由曲线123x y x --=-所围成的图形的面积是 . 9. 已知函数()()()[]2222,1,1xxf x aa x -=-++∈-.关于x 的方程()22f x a =有解，则实数a 的取值范围是 _____ 10. 三角形一内角是3π，且它的对边长是1，则此三角形内切圆半径的最大值是 ____ 11. 函数2254()22x x f x x x -+=-+的最小值为 .12. 已知函数323y x x x =++的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)，就恒有21y y +的定值为y 0，则y 0的值为______13. 已知函数()4242211f x x x x x x =+-+--+，则其最大值为14.已知函数()f x 定义在[](),1D m m m =->上且()0f x >，对于任意实数,,x y x y +,D ∈都有()()(),f x y f x f y +=且()11006f =，设函数()()()()()()21100611f x f x f xg x f x f x ++++=-+的最大值和最小值分别为M 和N,则M+N=二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，c b a ,,分别是三内角C B A ,,的对边，且()0cos cos 2=--C b B c a . （1）求角B 的值； （2）若3=b ，设角A 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()x f y =的最大值.16．已知二次函数()()21,f x x mx m Z =++∈ 且关于x 的方程()=2f x 在⎪⎭⎫⎝⎛-21,3上有两个不相等的实数根.⑴求()f x 的解析式.⑵若[]2,x t ∈总有()52f x x -≤成立，求t 的最大值.17. 即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通。

根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次。

每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数。

(注: 营运人数指火车运送的人数)18. 已知圆C:()()22-2+-2=2x y ，过原点O 作圆C 的切线OA 、OB ，切点依次记为A 、B,过原点O 引直线l 交圆C 与D 、E 两点，交AB 与F 点.⑴求直线AB 的直线方程.⑵求OD+OE 的最大值。

xEDBAyF l19. 设函数()(,,)nn f x x bx c n N b c R +=++∈∈（1）设2n >，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间3,15⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；（2）设n 为偶数，(1)1n f -≤，(1)1n f ≤，求c b +3的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|9f x f x -≤，求b 的取值范围；20. 已知等差数列{}n a 的首项为a ,公差是b ；等比数列{}n b 的首项是b ,公比是a ,其中a 、b 都是正整数，且11223a b a b a <<<<.⑴求a 的值.⑵若对于{}n a 、{}n b ,存在关系式2m n a b +=，试求数列{}n a 前()2≥n n 项中所有不同两项的乘积之和.江苏省新海高级中学2013届高三10月学情调研数学（理科）参考答案一、填空题（每题5分）1、12、41 3、14、185π5、12ln22- 6、[)8,77、()+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,121,8、39、(][)+∞⋃-∞-,22,10、6311、122+12、213、214、2012二、解答题 15、（14分） 解：（1）由()0cos cos 2=--C b B c a ， 得()2sin sin cos cos cos 0A C B B C --= 化简：1cos 2B = 3B π= ………………………6分（2）由正弦定理32sin sin 32a cA C=== 得22sin ,2sin 3a x c x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 22sin 2sin 323sin 336y a b c x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭max 33y = ………………………14分16、（14分）解：（1）由()=2f x 在⎪⎭⎫⎝⎛-21,3上有两个不相等的实数根，即 ()()2210g x f x x mx =-=+-=在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,3上有两个不相等的实数根，()301021322g g m ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩()3823m m Z ⇒<<∈ 2m ⇒= 从而()221f x x x =++ ………7分 （2） 由 ()52f x x -≤ ，得 21016028x x x -+≤⇒≤≤而当[]2,x t ∈总有()52f x x -≤成立，max 8t = ………14分 17、（14分）解：依题意，每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，设为()f x kx b =+则416271024k b k k b b +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 即 ()()224012f x x x =-+<< ………6分从而每天营运人数 ()220y x f x =⋅当6x =时，max 79202y =⋅ 答：每天应拖挂6节车厢能使每天的营运人数最多，最多人数为79202⋅ ………14分 18、（16分） 解：由题意,,,,O A C B 四点共圆，设为圆'C则圆'C 的方程为()()22112x y -+-=，且AB 为两圆的公共弦，从而直线AB 的方程为30x y +-= ………4分（2）设直线:l y kx = 则 ()()()()22222+2=214460y kx x y k x k x =⎧⎪⎨--⎪⎩⇒+-++=设()()1122,,,D x y E x y ，于是()222221122121OD OE x y x y k x x +=+++=++ ………10分()()222224112144142111k k kkk k k++=+==+≤+++ 即OD OE +的最大值为42 ………16分或：解：由切割线定理：266OD OE OB OE OD ⋅==⇒=,6OD OE OD OD+=+, 2,6OD ⎡⎤∈⎣⎦,由函数单调性得：62422OD OE +≤+=19、（16分） （1）由2n >，1,1b c ==-，得()1n n f x x x =+-()'110n n f x nx -=+>对3,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，从而()1n n f x x x =+-在3,15⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，又()110n f =>，233232055555nn f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()n f x 在区间3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点. ………4分（2）因为 (1)111102n f bc b c -≤⇒-≤-+≤⇒≤-≤ (1)120n f b c ≤⇒-≤+≤ 由线性规划max min (3)2,(3)4,b c b c +=+=-（或()()[]324,2b c b c b c +=-++∈-，max min (3)2,(3)4,b c b c +=+=-）………8分 （3）当2n =时，()22f x x bx c =++（Ⅰ）当2b ≥或2b ≤-时，即12b -≤-或12b-≥，此时 只需满足()()2299112922f f b b --=≤⇒-≤≤，从而99,22,22b ⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（Ⅱ）当02b ≤<时，即102b-<-≤，此时 只需满足()2222119242b b b f f b c c ⎛⎫⎛⎫--=++--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即24320b b +-≤ 解得：84b -≤≤， 从而[)0,2b ∈ （Ⅲ）当20b -<<时，即012b<-<，此时 只需满足()2222119242b b b f f b c c ⎛⎫⎛⎫---=-+--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即24320b b --≤ 解得：48b -≤≤ 从而()2,0b ∈- 综上所述：99,22b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ………16分20、（16分）解：（1）由112232a b a b a a b a b ab a b <<<<⇒<<+<<+由1ab b a >⇒>；()22,ab a b a b a <+⇒-<又a b <，()23a b b a -<⇒< 即得 2a = ………4分（2）由（1）知2a =，即 ()121,2n m n a m b b b -=+-=⋅()()()1112122142214n n n m b b b m b b m ---+-+=⋅⇒-+=⋅⇒--= 又3b ≥从而4b = 从而 ()21442n a n n =+-=- ………8分因为()*22221212,()....(.....)2nn ni j i j N i j a a a a a a a a ∈≠++=+++∑，从而()*22221212,()....(.....)2nn n i ji j N i j a a a a a a a a ∈≠++-++=∑其中：()()224121....2442n n n a a a n n -⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭()()()2222222124.....1612...1612.. (4413)n a a a n n n n n ++=+++-++++=-则()()*2222121242,()....(.....)224123nn n i ji j N i j a a a a a a a a n n n ∈≠++-++==--∑………16分。