通常把3次方及其以上的高次项称为非简谐项。
如果原子的位移相当小，则非简谐项和简谐项(2次 方项)相比为一小量，则可把非简谐项看成微扰项。
由于微扰项的存在，这些谐振子就不再是相互独立 的了，而相互间要发生作用，即声子和声子之间要相 互交换能量。
这样，如果开始时只存在某种频率的声子，由于 声子间的互作用，这种频率的声子转换成另一种频率 的声子。即一种频率的声子要湮灭，而另一种频率的 声子会产生。
这样，经过一定的弛豫时间后，各种声子的分布就 能达到热平衡。
所以，非简谐项的存在是使晶格振动达到热平衡的 最主要原因.
一般把从简谐晶体的声子出发，在此基础上做进一 步修改的方法，称为准简谐近似。
一、 晶体的热传导
1. N过程和U过程
把声子看成准粒子后，非简谐项的微扰作用，可 导致声子态之间的跃迁。
两个声子通过非简谐项的作用, 产生了第三个声子, 这可以看成是两个声子碰撞之后变成了第三个声子.
声子的这种相互作用可以理解为: 一个声子的存在将 在晶体中引起周期性的弹性应变, 由于非简谐项的影 响, 晶体的弹性模量不是常数, 而受到弹性应变的调制.
由于弹性模量的变化，将使第二个声子受到散射而 产生第三个声子。
由于声子的平均热运动速度一般取成固体中的平均 声速，所以基本上与温度无关，因而影响热导率的主
要是晶格比热容CV和声子的平均自由程。
声子的平均自由程与声子数目有关，声子数目越
多，声子之间的碰撞几率就越大，从而声子的平均自
由程就越小；反之，声子数目越少，声子之间的碰 撞几率就越小，从而声子的平均自由程就越大。
这种声子态之间的跃迁常称为声子-声子相互作用， 或声子之间的碰撞或散射。 声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒。
非简谐作用中的势能三次方项对应于三声子过程， 如两个声子碰撞产生另一个声子或一个声子劈裂成两 个声子；非简谐作用中的势能四次方项对应于四声子 过程。
三声子过程(势能展开取到3次方项) 四声子过程 (势能展开取到4次方项)
而U过程则要求波矢q1+q2在第一布里渊区以外，导 致q3几乎与q1+q2方向相反.
qy
qv 1
qv 2
qv 3 qx
qy
v
qv 3 G h
qv 1
qv 2
qv1 qv2
qx
N过程
U过程
反常过程可以认为是碰撞的同时发生了布拉格反射 的结果，它是产生热阻的一个重要机制。
2. 晶格的热传导和热导率
我们在第一章已经讨论过金属的热传导，金属主要 是自由电子气体对热能的输运。对于晶格而言，我们 可以认为晶格中存在大量的声子气体，声子是热能的 携带者。声子属于波色子，满足波色统计，即
h2
qv2 qv3
h3
称为正常过程(normal process)或N过程.
两个声子的碰撞过程也可以满足
h1
qv1
qv2h2qv3hGvh3
称为倒逆过程(Umldapp process)或U过程，也叫反 转过程。
显然对于三声子碰撞过程来说，N过程意味着波矢 q1+q2=q3始终在第一布里渊区内，且方向大致相同， 因而不改变热流的基本方向.
1
n qs
hqs
e kBT 1
显然温度高的地方，声子数目就多；温度低的地方，
声子数目就少。从而由于温度梯度的存在，将导致声
子从高温向低温的扩散，形成热流。这是热传导的准
经典解释。
类似于第一章，晶格的热导率满足
1 3
CV v
1 3
CV v
其中，CV为晶格比热容，为声子的平均自由程，v
为声子的平均热运动速度，常取固体中的平均声速。
h hq v11 h hq v 22hh q v 3 3hG vh q v1q v2q v3G vh
实际情况确实存在上述两种对应关系. 比如在研究热阻时，发现两个同向运动的声子相互 碰撞，产生的第三个声子的运动方向与它们相反，即 运动方向发生倒转。 因此两个声子的碰撞过程可以满足
qhv11
流的声子分布一旦建立,将不随时间变化(表明弛
豫时间为无穷大),这意味着无限大的热导率.
1
3
cVvl
31cVv2
所以，用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热 传导现象。
实际上，原子间的相互作用力(恢复力)并非严格地 与原子的位移成正比。
当在晶体的势能展开式中，考虑3次方及其以上的 高次项时，则晶格振动就不能描述为一系列严格线性 独立的谐振子.
4.7 非简谐效应
本节主要内容: 一、 晶体的热传导 二、 晶体的热膨胀
4.7 非简谐效应
在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为
3N个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发
生作用，也不交换能量；
晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保
持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不
能使自己处于热平衡状态。
也就是说,在简谐晶体中,声子态是定态,携带热
该过程遵循能量守恒和准动量守恒。
设两个相互碰撞的声子的频率和波矢分别为1、q1 和2、q2；而第三个声子的频率和波矢为3、q3，对
于该三声子过程，则有:
hhq v11hhqv22hhqv 3 3 qv1qv2qv3
由于晶格振动的状态是波矢的周期函数，即q 态和q + Gh态等价。因此还有如下等效关系
声子数目可由波色统计给出。
高温时，声子数目满足 :
nqs
1 hqs
e kBT
11hkB 1Tqs 1hkBTqs
1 3
CV v
所以, 高温时, 声子数目与温度成正比, 从而导致声
子的平均自由程随温度升高而变小, 即 T-1。
我们知道在高温时, 也就是温度远高于德拜温度时, 晶格比热容CV是一个与温度无关的常数。
律，即CV T3。
所以，T<<ΘD时，晶格热导率满足 T3eA/T。 显然T→0时，声子的平均自由程→∞，从而导致
晶格热导率→∞。
实际上热导系数并不会趋向无穷大，因为 在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自 由程不会非常大。
对于完整的晶体，即不存在杂质和缺陷的
因此T >>ΘD时，晶格的热导率随温度的升高而变小，
满足 T-1。
低温下， T <<ΘD时，声子数目满足
1
n qs
hqs
e e hqskBT
AT
e kBT1
1 3
CV v
所以，声子数声子的平均自由程随温度升高而成指数规律
变大，即 e A/T。
此外，T<<ΘD时，晶格比热容CV满足德拜三次方定