1 3
kB e
2
2.45108W
•K2
上式表明，在给定温度下，金属的热导率和 电导率的比值为常数，称为洛伦兹常数。
由于，在1853年维德曼(Wiedeman)－夫兰兹 (Franz)二人，最早从实验上发现了该现象，所 以常把上述规律称为维德曼－夫兰兹定律。
如果采用经典模型，电子比热容为： cVe
rs
3/
4
n
1 3
3.交变电场情形金属的电导率
假设此时
v E
Ev0eit ; vvd
vvd
eit
0
代入电子的动力学方程得
imevvd
v eE
mevvd
me
dvvd (t) dt
v F (t )
me
vvd (t)
整理得
v
vvd
eE me (1 i )
imevvd
v eE
mevvd
由 得到
v J
假定t时刻电子的平均动量为P(t)，经过dt时间 没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献为 P(t+dt)。
则没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应 为t时刻电子的平均动量和dt时间后动量的变化 之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。
所以有:
pv(t
dt)
(1
dt
)
[
pv(t)
v F (t
)dt
]
v F (t )dt
me
可见与经典模型下的结果一致。由上式的推导 过程可知，费米球内所有的电子都参与了导电.
但是，如果我们具体分析在外电场的作用下 费米球的刚性移动过程，不难发现只有费米面 附近的很少一部分电子才对金属的电导有贡献.
如图所示，在外场作用下，费米球从红色
位置向蓝色位置平移。
ky
v E
kx
vv
v
v
电子所占的比例为：
但是，进一步的实验发现，维德曼－夫兰兹定律在
较低的温度下不成立，在这一温区，洛伦兹常数依赖
于温度。这主要是由于我们假定了电导过程和热导过
程有相同的弛豫时间，发生的都是弹性散射所引起的。
由于在温度小于德拜温度时，非弹性散射变得重要起
来，这种散射对于电导率影响不大，但是，对于热导
率有很大的影响。所以，维德曼－夫兰兹定律在较低
热传导的定义告诉我们，产生热传导的条 件是温度不均匀。
温度不均匀的数学描述就是温度梯度T
金属样品中存在温度梯度T时，就会产生热
传导，热传导的强弱用热流强度JQ 来描述
高温
低温
2.热流强度
单位时间里通过单位横截面积的热量，称为 热流强度
当温度梯度T不太大时，热流强度JQ与T
成正比。
即
v
JQ T
这就是热传导定律
nevvd
ne2
me
•1
1 i
vv
•E E
ne2 • 1 0 me 1 i 1 i
0 为直流电导率
二、索末菲近似下金属的电导率
索末菲近似下，基态时金属中的自由电子费
米气体全部分布在费米球内。此时金属自由电
子具有确定的动量
pv
mevv
v hk
电子速度
vv
v hk
/
me
不加外场时，费米球的中心和k空间的原点重 合，整个费米球对原点对称。如果有一个电子 有速度v，就有另一个电子有速度-v，因此金属 内净电流为零。
v F (t )
me
vvd (t)
阻尼力
该方程又称为漂移速度理论
2.稳恒电场情形下金属的电导率
对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度
所以：dvd (t) 0, F eE
dt
me
dvvd (t) dt
v F (t )
me
vvd (t)
整把得理它到后们：得代0到入电自eE子v由的电me漂子vvd移在速外度场为下的v动vd 力学em Ee方v 程
h
考虑到动量的变化关系：
pv
me
vv
h
v k
得电子在稳恒电场下逆电场方向的速度增量：
vv
h
v k/
me
v
eE
/
me
vv
v
h k /
me
v
eE
/
me
上式就是电子在稳恒电场下获得的定向漂移 速度，对金属内每一个电子来说，都有这样的
漂移速度，由此可得电流密度：
v J
ne( vv)
ne2
v E
me
所以，电导率为 ne2
3.金属的热导率
金属的热导率为:
1 3
cV
vl
1 3
cV v
2
其中cV 为电子比热
v 为电子运动的平均速度， l为电子的平均
自由程， 为驰豫时间
按照索末菲模型，电子的比热为
CVe
T
2
2
nkB
T TF
电子的平均速度取费米速度
F
1 mv2 2F
kBTF
mv2
TF
F
2kB
CVe
T
2
2
nkB
T TF
是对于所有电子而言的，电场力对所
有电子有作用，但是，有贡献的只是未发生碰
撞的电子.
整理得
pv(t
dt)
(1
dt
)[
pv(t)
v F (t
)dt
]
pv(t
dt
)
pv(t
)
v F (t )dt
pv(t)
dt
v F (t )dt
dt
取一级近似
pv(t
dt)
pv(t)
v F (t )dt
pv(t)
dt
从而有
按照特鲁德-洛仑兹模型，电子遵循碰撞近似 和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向,所以电 子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分 电子。
定义驰豫时间，借以概括电子和金属离子的碰
撞特征.
驰豫时间,相当于相继两次散射间的平均时间
由弛豫时间τ的定义，dt时间内，电子受到碰 撞的几率为dt/τ，从而电子没有受到碰撞的几 率为(1-dt/τ)。
mv2
TF
F
2kB
1 3
cV
v
2
F
v ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱF
所以金属的热导率为:
1 3
ce V
vF2
F
12
32
nkB
2kBT
me
v2 F
vF2 F
2
k
2
B
n
F
3me
T
热导率：
2
k
2
B
n
F
T
3me
则存在如下关系:
电导率：
ne2 F
me
2k2n
T
B
3m
T
ne2
T
1 3
kB
e
2
2.45108W
•
K
2
m
T
的温度下不成立。
つづき
vk
kF
(eE F ) • v1
h kF
eEv F
hkF
emEvvFF
所以参与导电的电子数目约为
v
n (emEevvFF )n
由于这些电子以费米速度逆电场方向运动，
则对电流的贡献为
v J
envvF
ne2 F
me
vv
E E
电导率 ne2 F
me
和前面得到的电导率形式
上一样，只是用F 代替
两种电导率形式上虽然一样，但是两者导电 的物理机理却不同。第一种形式认为费米球内 所有电子都参与了导电,电子数目多但速度缓慢； 第二种则认为只有费米面附近的电子参与了导 电,电子数目少但速度极大，取费米速度；所以, 两者效果一样，即电流密度一样。
第四节 金属的电导率和热导率
本节主要内容： 一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率 二、索末菲近似下金属的电导率 三、金属的热导率
一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率
无论是经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论，还 是量子的索末菲自由电子论，在解释金属的电 导和热导问题上都取得了成功,并成功解释了维 德曼—夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁德-洛 仑兹自由电子论的结果。 1. 电场下经典的动力学方程
经典统计下电子的动能：
E
1 2
mev 2
3 2
kBT
所以电子的平均速率： v
3kBT me
由此可得到电子的平均自由程： l v
室温下电子的平均速率大约为107 cm/s。对于
普通的金属, 的量级约10-14s,所以l 约1 nm
由电子的密度我们容易得出电子的半径rs的大 小约为0.1 nm左右，差不多和经典下电子的平均 自由程在一个量级，显示了经典模型的局限性。
严格的理论计算支持了后一种的说法。这主要 是由泡利原理导致的。能量比费米能低得多的 电子，其附近的状态已被电子占据，没有空态 可接受其它电子。因此，这部分电子无法从电 场里获得能量进入较高的能级而对电导做出贡 献，能被电场激发的还是费米面附近的电子。
三、 金属的热导率
1.热传导
由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温 度低的地方转移，这种现象叫热传导
v k
v k (t)
v k (0)
v eE
t
h
心此移式动表为明，在kvK空间，从0t 时刻，费米球中
负号表示费米球沿与外场相反的方向移动
那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的位
移为:
v k
v eE
h
费米球在外场作用下产生刚性移动示意图