drv h B)vdkv dt eB dt
r v 是 电 子 在 实 空 间 位 置 矢 量 在 垂 直 磁 场 方 向 的 投 影
积 分 得 ： r v ( t) r v ( 0 ) e h B B ) v [ k v ( t) k v ( 0 ) ]
所以,电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场
这些量子化的能级称为朗道能级。
1. 朗道能级
考虑边长为 L 的立方体,以它们的边长为 x,y,z 轴,外磁场平行于z 轴且均匀. 即： BvBz)
自由电子在外加磁场(沿z轴方向)的哈密顿算 符为： H ˆ 1 (peA )2
2m p：电子的运动学动量， A ：电子的场动量，
eA：矢量势
则由于
BvBz) 且
BA
可令
v A(By,0,0)
hv(k v) vh (k v)
v
(k )
d
v k
v k
T(,kz)2 c eh B蜒 d v ke hB 2 ( k)dk
h2 A( , kz ) eB
A(,kz)是用，kz标记的
轨道在k空间所围面积
与
c
eB
m
* c
比较可知：
mc*
h2
2
A(, kz )
mc*
h2
2
A(, kz )
v (orA(0,Bx,0))
H ˆ 1 (peA )2 2m
21mp xeB2yp 2yp 2z
是H对 中易不的含。x根，据z,所量以子它力和学算，符可p选x Hi的hx本及征p z波 函i h
z
数同时为 pˆx, pˆz 的本征波函数。
p ˆx kx ,p ˆz k z
电子的能量
这时波函数可以写成： ei(kxxkzz) (y)
相应的周期为： hd d k t(e)v v (k v )B v d d k t e h Bv
T(,kz)2 c 蜒 d kv & keh B dkveh B? d v k
设Δ(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为ε和ε + Δε两 个等能面间法线距离。
如图：
由 rv&vv(kv)1 hkv(kv)得：
dkx
dt
eB m
ky
dky dt
eB m
kx
dkz dt
0
在k空间，电子总是沿着垂直于
kz
B
磁场的平面和等能面的交线运动
自由电子的等能面是球面,与 kz 垂直 的平面与等能面的交线就是一系列圆.
k k
ky
kz
保持不变,在
kx
—
k圆周运动,回转的频率 0 eB/m
代入方程Hˆ E 得到: 2 1 m [(h kxeB y)2p )2 yh2kz 2](y)E (y)
[ 2 h m 2 y 2 2 2 1 m (h k x e B y )2 ](y ) (E h 2 2 m k z 2)(y )
2 m 2 y2 2m 2c 2(yy0)2 (y)( y)
做匀速圆周运动，回旋频率为
v
0 eB/m
以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于 晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形 式上仍可写成：
c e m B c *;m c * 称 为 回 旋 有 v效 质 量 (c y c lo tr o n e ffe c v tiv em a s s )
轴旋转90度,并乘以因子 h / eB得到.
电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转
90度,并乘以因子 h / eB 得到.
)v B
h
vv [k(t) k(0)]
eB
rv(t)rv(0)
r v (t) r v (0 ) e h B B ) v [k v (t) k v (0 )]
二、均匀磁场中自由电子的量子化理论
(2)电子在实空间的运动图象
vv(
v k)
v hk
m
v
x
h m
kx
v
y
h m
ky
v
z
h m
kz
dvx dt
h m
dkx dt
h m
eB m ky
eB m
vy
dvy dt
h m
dk y dt
h m
eB m kx
eB m vx
dvz
dt
0
电子在r 空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内
其c中 e m ,B y 0 e k B x, E 2 2 m k z 2,
与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是
一个中心在y0的谐振子波动方程。 回旋频率 谐振子能量
由量子力学知 (n 12)hc
E 2kz2
2m
电子的能量 E(n1 2)c 22m kz2 n0,1,2,L
一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动
准1 经.恒典定运磁动场的中两的个准方经程典：运动hrv&dkvvv(kv( )e)vv1 h(k v)kvB (vkv)
12)).. 所d设 ddd以ktvkh tvB v ，d /(垂/波kv 在z轴 直矢•1 ， 于k的v d B则 变v空v化d 的间 d k t)方z 中垂d 向，直0 ,波于k 0 z矢保 vvh(持 kkkvv& v& )•为 说满的B vd常 明足方t量 电向0：。 子 沿h因 电 垂 平 的着kv&•而 子 面 交直等vv总 和 线,于能在0是 等 运磁面k空动沿 能场运间.着 面的动,
dt hdk dt
说明k沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量
以自由电子为例加以讨论： h 2 k 2
v B(0,0,B)
vhv(dkvkv)( 1he)vvkv(kv()kv)B v
dt
h 2 k 2
vv
(
v k
)
v
v hk m
dk d t
e m
2m v k
v B
v 2 m
(1)电子在k 空间的运动图象
m c * 是 与 轨 道 相 关 的 回 旋 有 效 质 量
它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。
对方程
hdkv(e)vv(kv)Bv
)v v
两边用 B B/
v
B叉乘，得：
dt
h B ) v d d k t v ( e ) B v ) [ v v ( k v ) B v ] e B v v e B d d r v t
和 自 由 电 子 Eh2kx 2h2ky 2h2kz 2比 较
2 m 2 m 2 m 沿磁场B方向,电子保持自由运动, 相应的动能为
2 2
k m
2 z
在垂直磁场的x-y平面上,电子的运动是量子化的
从准连续的能量
2 2m
(kx2
ky2
)
变成(n+1/2)
c
在与磁场垂直的kz＝常数的平面内,轨道是量子化的.