1 f ( ) 0 1 2

随着T的增加，f(i)发生变化的能量范围变 宽,但在任何情况下,此能量范围约在 kBT 范围内,且随T0K而无限地变窄。
3) (f / ) 是关于（ -）的偶函数，而且具 有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内 才有显著的值. 即
第二节 费米分布和自由电子气体的热性质

一
化学势和费米能量随温度的变化 自由电子费米气体的比热容

二
1.2.1 化学势和费米能量随温度的变化 T0K时,自由电子费米气体在有限温度下的 宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量 描述.其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克 分布函数,亦即费米分布函数.
3.费米分布函数的特点
f (i ) (i ) kBT e 1
1
1) 由费米分布函数表达式和它的物理意义可 知:
0 f (i ) 1
特别是当T=0 K时
1 f () 0

亦即,≤μ时的所有状态都被占据,而 >态上电 子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当 于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能 量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米 能量相等.
一、费米---狄拉克分布（费米分布函数） 1. 表达式：
f (i ) (i ) kBT e 1
1
是N电子热力学
体系的化学势
2.物理意义
费米分布函数给出了体系在热平衡态时,能量 为i的单电子本征态被一个电子占据的概率.根 据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子,所 以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平 均电子占据数.
4.化学势随温度的变化 化学势的计算要由下式积分确定，式中，g() 为自由电子费米气体单位体积的能态密度
n f ( )g ( )d
０

1 1 1 1 3 2 2 2 g () 23 ( 2 m ) C

n f ( )g ( )d
０

f ()
1 e
() kBT
很显然，I0等于１，由于 为 ( - ) 的偶函数，因此I1=0。下面考虑I2
(
f )
1 令( - )/kBT=，则 f e 1
此外,由于热激发能远小于基态费米能.因而, 激发态系统增加或减少一个电子时所增加或减 少的能量,即化学势µ 和费米能量相差不多.从而 对化学势和费米能级F不加以区分.因此,很多 的固体书中把费米分布函数表示为：
f () 1 e(F ) kBT 1
1 f () 0

费米分布函数表达式中的是体系的化学势, 它的意义是在体积和温度不变的条件下,系统增 加或减少一个电子时所增加或减少的能量. 化学势可由下式确定：
N / V n ) g ( ) d f(
０

有时称上式为归一化条件 上面的积分不容易得到,为此下面首先给出费 米分布函数的特点,然后再讨论化学势的计算.
将展开式代入积分式中,并把积分下限扩展 到-∞，可得到：
QQ ( ) ( ) （ ） Q ( ) （ ） Q ( ) 2

f f ( I Q ( ) ( ) d Q ) ( ) ( ) d 1 f 2 ( Q ) ( ) ( ) d 2 ( ( I0Q ( )I Q )I2Q ) 1
f ( )
该特点可由下式得出：
f 1 1 1 ( )k T ( )k T B B k T e 1 e 1 B
偶函数源于把上式用-( -)替换后不变； 函数 源于费米分布函数远离化学势时为零。
费密分布函数的上述特点是我们讨论自由电 子费密 电子系统，则有：

i
f ( i ) N
亦即：费米分布函数对所有量子态求和等 于系统中总电子数。
考虑到金属中自由电子数目极多，其能量 状态是准连续分布的，所以，上式的求和可以 改为对能量的积分：
N / V n ) g ( ) d f(
０

这里g( )就是单位体积的能态密度，且基态 时自由电子的能态密度公式在这里仍然适用. 当费米分布函数取1时，恰好对应的就是基态 的情形.
f (i ) (i ) kBT e 1
1
a . k T 0 B
i 1 f (i ) 陡变 i 0 i
b . kBT 0
1 i 1 f ( i ) i 2 0 i
2) 由上面的图示可以看出，当T > 0K时，费米 分布函数有
0
f ( ) d(Q ( ))



0
Q ( ) H d
0

f (i ) (i ) kBT e 1
1
因为： f () 0
Q(0) 0
f 所以： I Q ( ) ( ) d 0

考虑到 (f / ) 函数的特点具有类似于函数的 性质,仅在附近kBT的范围内才有显著的值. 所 以,上式的积分下限即使扩展到-∞也不会影响 积分结果. 同时, 可将Q()在附近展开为泰勒 级数. 1 2
1
g( ) C
1 2
上面的积分并不容易，涉及到费米统计中常 遇到的积分形式,称为费米积分：
I H ( )f( )d
０

下面利用分部积分法求解费米积分
分部积分法：
I H ( )f ( ) d (利用分部积分) ０

f Q () f() 0 Q () ( ) d 0