静电场的环路定理
物理学
第五版
一、静电场力所做的功
0d d A q E l
=⋅l r
r
εqq d ˆπ42
00
⋅=0
2
0d d 4πqq A r εr
= 点电荷的电场
q
q A
r A
B
B
r E
r
r
ˆl d θ
r
d r θl l r
d cos d d ˆ==⋅
物理学
第五版
20
d 4πB
A
r r qq r A εr
=
⎰
)11(π400B
A r r εqq -=结论: A 仅与q 0的始末位置有关，
与路径无关
2
0d d 4πqq A r εr
=q
q A
r A
B
B
r E
r
r
ˆl d θ
r
d
物理学
第五版
任意带电体的电场
∑=i
i
E E 0d l
A q E l =⋅⎰⎰∑⋅=l
i i
l
E q
d 0结论：静电场力做功，与路径无关。

静电场力是保守力。

（点电荷的组合）
++=+⋅+⋅=
⎰
⎰212010A A l d E q l d E q b
a
b
a
物理学
第五版
二、静电场的环路定理
⎰
⎰⋅=⋅ADC
ABC
l E q l E q
d d 0
00
)d d (0=⋅+
⋅⎰⎰CDA
ABC
l E l E q
d =⋅⎰l
l E
静电场是保守场
结论：沿闭合路径一周，电
场力作功为零.
E
A
B
C
D
物理学
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静电场的环流定理反映了静电场的一个重要性质。

它说明静电场是保守场（无旋场），可以引入势的概念，所以也叫势场。

根据斯托克斯公式
s d E l d E l
s
⋅⨯∇=⋅⎰
⎰
)(0
=⨯∇E
静电场的旋度为零，静电场是无旋场
物理学
第五版
例：用环流定理证明“静电场电力线不会闭合”。

证：用反证法证明：先假设电力线形成闭合线，则以此闭合线为路径应用环流定理
E
l
⎰⎰⎰>=
=
⋅l
Edl Edl l d E 0
cos 0
与 ⎰=⋅l
l d E 0
相矛盾
说明：假设不正确，静电场的电力线不会闭合
物理学
第五版
例：证明非无限大平行板电容器电力线不可能只分布内部。

带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - -
物理学
第五版
+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - 证：用反证法，假设外部 0=E 如图作一闭合回路 ⎰
=⋅l
l d E
⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅+⋅DA
CD AB BC l d E l d E l d E l d E EL =与 ⎰=⋅l l d E 0
相矛盾，
A B C
D
说明：假设不正确。