解：1) 用迭加法，各点在o点的电势
V1 V2 V3 V4
V0 4V1 q 4 0 r
q
4 0 r 28.8 102V
2) 由定义知，电场力做的功
A
o
q0Vo 28.8 1011 J

o F l q0 E l q0 E l d d d
6
即：a、b两点的电势差 = A/q0
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ，半径分别为 R1、 R2 。 求：负极上静止电子到正极时的速度？ 解：由电势差的定义可得
U
A q(V V )
(e )(U )
R2
R1
1 mv 2 0 2 即 eU 1 mv 2 2
第4节 静电场的环路定理
Circuital Theorem of Electrostatic Fields 电场力 → 高斯定理 → 有源场 电场力做功 → 环路定理 → 无旋场 一、静电场力做功
由电场强度的定义可知，在静电场 E 中，电荷q0 受到电场力 F q0 E 的作用。当q0在电场中的位 移为 dl 时，电场力 F 做功： dA F dl q0 E dl 在力 F 作用下，q0从a点经某路径L到达 b点，电场力做的总功为 a A F dl q0 E dl q0 E dl L L L 电场强度 E 沿路径L的线积分 A E dl 积分取决于电场强度 E 的分布 L q0
o
14
例 计算电偶极子电场中任意一点P的电势。已知电偶极子中 两点电荷+q、-q的距离为l。
解：用迭加法
P
VP Vi ( P )
i
q r r ( ) 4 0 r r
r r l cos 2
4 0 r
q

4 0 r
r r r+
q
当 r >> l 可做如下近似
b
E
L
q0 dl
1
1.在点电荷q的电场中
电场力做功 dA F dl q0 E dl q 点电荷q的电场强度为 E e 2 r 4 0 r qq0 dA F dl e dl 2 r 4 0 r qq0 qq0 cos dl dr 2 2 4 0 r 4 0 r
1
2
经L2
b电场力作功：

A Lq0E dl 0
L1
b q E dl a 0
L1

L2
b q E dl a 0
L2
L E dl 0 静电场的环路定理
4
即:静电场中场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零
注
1º 若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该矢量场为无旋场。 静电场两个基本性质：
理论上
9
二、电势的计算
1. 用定义法求V
VP P
r V 0
V 0
E dl
例. 求点电荷q电场中任意一点P 的电势V =？
q
P

解: 设
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为

4 0r
q
e 2 r
VP P
E dl P

r
注意
1o 电场中某点的 “V ” 由场源电荷及场点位置决定，与q0无关。 它描述的是电场“能的性质”。 2o 电势是标量，有正、负。 3o 电势是相对量，相对于 V =0 处而言。 原则上可选电场中任意一点的电势为零。
8
注意
4º电势零点的选取 电荷分布在有限空间， 取无穷远为 V = 0 点。 电荷分布在无限空间， 取有限远点为V = 0 点。 一般工程上 选大地或设备外壳为V =0点
Electric Potential Gradient 一、等势面 1.定义 电场中所有电势相等的点构成 的曲面叫等势面。 （可由实验测定）

q V 4 0 r
18
2. 等势面与场强的关系 ① 在等势面上移动电荷时,电场力不做功；
Aab q0 (Va Vb )
② 电场线与等势面处处正交; ③ 电场线方向指向电势降低方向; ④ 若相邻等势面电势差相等,则 等势面密处场强大； 等势面疏处场强小。
一、电势差和电势
从上一节讨论可知 b
L2
a L
1
b
b E dl a E dl
L2
L1
存在与位置 有关的态函数
q0
a
与重力势能类似
定义：a、b两点的电势分别为Va、Vb，
b
则两点间的电势差为 Va Vb E dl a
将单位正电荷 从ab电场力作的功 与路径无关



qi
qj
V1 V2 Vk q1 q2 qn 4 0 r1 4 0 r2 4 0 rn
电势叠加原理
qi VP Vi i i 4 0 ri
任意带电体场中的电势
VP q
4 0r
dq
13
例 点电荷q1= q2= q3= q4=4×10-9C，放置在一正方形的顶角上 ，各顶角距离中心5cm 。 求: 1)中心o点的电势； 2)将q0=1×10-9C从无穷远处移动到o点，电场力做的功。
15
例.长为L 的均匀带电导线, 电荷线密度为+. 求:延长线上任意一点 P 的电势。
o

r

x x dx

VP q
4 0r
dq

l
P
L
解：用迭加法，取电荷元
x
dq dx
dq
dV
P 的电势
4 0r

4 0(L l x)
L
dx
VP dV
R
r
q o
x
P
.
x
VP

q dq 0 4 r 0
q
dq 4 0 R2 x 2
q 0
讨论
q 1 | x |R , VP 4 0| x | q o 2 x 0, VP 4 0 R
o
4 0 R2 x 2
x , VP 0
相当于点电荷
17
第6节 电势梯度
高斯定理 E dS 1 qi S
0 S
有源场 无旋场
环路定理 E dl 0 L
2º 运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将在磁场部分讨 论。
5
第5节 电势差和电势
Electric Potential Difference and Electric Potential
P0
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
P0
可见：当电荷分布到无穷远时， 电势零点不能再选在无穷远处。
12
2. 用叠加法求V
在点电荷系 q1 , q2 qn 的电场中 任意点P处的电势q1
r1 r2
q V 4 0r
.
qn
P
q2
rn
VP P E dl P E1 E2 En dl P E1 dl P E2 dl P En dl
r r l cos q 2 q r r q l cos VP ( ) 4 0 r r 4 0 2 l 2 2 ( r cos ) 4 由 pe er ql er ql cos 得 VP
r l

+q
pe er 4 0r 2
q q R dr 2 4 0r 4 0 R
P
0
R
r
注意
E =0的区域, “V ”不一定为零
关 场与 区点 是的 等位 势置 区无
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例. 求半径为R, 电荷线密度为的无限长均匀带电细线的 电势分布？ 解：无限长均匀带电细线电场分布
E
若令V= 0 则任意点P的电势为
er 2 0r
P2 P1
dl
20
1.电势梯度定义：
电场中某点的电势沿过该点等势面的 法线方向的空间变化率叫该点的电势 梯度。 （实际上是电势在该点的最大空间变 化率） 梯度定义：
r E
P1
P2
n

V
dl
P2
V dV
dV n grad V dn
dl F
c q0
dr
b
r +dr
r
a
rb
+
积分
A
b a
qq0 qq0 1 1 dr 2 4 0 r 4 0 ra rb
ra
q
——点电荷的电场力作功 只与被移动电荷距离场源电荷的距离相关 与路径无关
2
2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场) 将电荷q0从a点移动到b点，在任意点c受电场力 F q0 E r a 该处的场强为 En q1 E E1 E 2 E n q0 r E c 电场力作功 E1 q2 b qi A F dl a q0E dl qj b qn b q0a (E1 E2 En) dl
P
P
V 0
E dl

q
P
解: 用定义法, 选V= 0,

r
o
P
R


r

V
r R处 V E dr P P q q r dr 2 P 4 0r 4 0r r R处 0 R VP E dr r E1 dr R E2 dr