q 4πε0R2
E
∝r
R
−2
场强分布曲线
O
r
−1
U
电势分布曲线
q 4πε0R
∝r
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O
R
r
三、由电势叠加原理求电势 例3 电荷以相同的面密度 分布在半径为 r =10cm 和 1 r2 = 20cm的两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心 的两个同心球面上。设无限远处电势为零， 处的电势为 U0 = 300V 。 （1）求电荷面密度 ） ； （2）求两球间的电势差。 ）求两球间的电势差。
等势面与电场线的关系
r r dA = q0 E ⋅ dl = q0 E ⋅ dl ⋅ cosθ = 0
正负点电荷周围电势分布特点。 正负点电荷周围电势分布特点。
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点电荷系的电势 电势叠加原理：点电荷系的电场中， 电势叠加原理：点电荷系的电场中，某点的电势 等于每个电荷单独在该点激发的电势的代数和。 等于每个电荷单独在该点激发的电势的代数和。
1 qi U =∑ πε0 ri i 4
dl
dU =
dq 4πε 0 r
1
+ + R+ o + + + + + +
r x p x
qdl = 4πε 0 2πRr
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=
qdl 8π 2ε 0 R R 2 + x 2
整个圆环在p 点的电势为U = ∫ dU Nhomakorabea=∫
2πR 2
qd qdl 8π ε 0 R R + x
2 2
0
=
q 4πε 0 R + x
( - L 2)
v v A = q0 ∫L E ⋅ dl = 0
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L1
静电场的环路定理 在静电场中， 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积 称为场强的环流）恒为零。 分（称为场强的环流）恒为零。
v v ∫ E⋅ dl = 0
L
该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。 综合静电场高斯定律和环路定理，可知静电场是有 综合静电场高斯定律和环路定理，可知静电场是有 源的保守力场，又由于电场线是不闭合的， 源的保守力场，又由于电场线是不闭合的，既形不 成旋涡的，所以静电场是无旋场 静电场是无旋场。 成旋涡的，所以静电场是无旋场。
"0"
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电势 某点电势能WA与q0之比只取决于电场，定义为该 某点电势能 之比只取决于电场， 点的电势 单位：伏特（ ） 电势. 点的电势.单位：伏特（V）
v WA "0" v = ∫A E ⋅ dl UA = q0
由上式可以看出,静电场中某点的电势在数值上等于 由上式可以看出 静电场中某点的电势在数值上等于 单位正电荷放在该点处时的电势能,也等于 也等于单位正电 单位正电荷放在该点处时的电势能 也等于单位正电 荷从该点经任意路径到电势零点处(无穷远处 无穷远处)时电场 荷从该点经任意路径到电势零点处 无穷远处 时电场 力所做的功。 力所做的功。 练习题：在点电荷 的电场中 选取以q为中心 的电场中， 为中心、 为半 练习题：在点电荷q的电场中，选取以 为中心、R为半 径的球面上一点P作为电势零点 则与点电荷q相距为 作为电势零点， 相距为r 径的球面上一点 作为电势零点，则与点电荷 相距为 的P*点的电势为 点的电势为 。
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由上式可知， 为负值； 由上式可知，在r>1 m处,VP为负值；在r<1 m 处 为正值。这个例题的结果再次表明， 处,VP为正值。这个例题的结果再次表明，在静电 场中只有两点的电势差有绝对的意义， 场中只有两点的电势差有绝对的意义，而各点的电 势值却只有相对的意义。 势值却只有相对的意义。
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电势差 电场中两点电势之差(电压) 电场中两点电势之差(电压)
上式表明，静电场中两点 的电势差， 上式表明，静电场中两点A、B的电势差，等于单 的电势差 位正电荷在电场中从A经任意路径到达 经任意路径到达B点时电场 位正电荷在电场中从 经任意路径到达 点时电场 力所做的功。 力所做的功。
B
v v AAB = q0 ∫A E ⋅ dl = −∆W =WA −WB
电势能零点的选取是任意的。 电势能零点的选取是任意的。对有限带电体一般 以无限远或地球为零点。 以无限远或地球为零点。 为静电势能的零点， 0”表示 表示， 选B为静电势能的零点，用“0”表示，则
v v WA = q0 ∫A E ⋅ dl
2 2
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二、从电荷分布求场强，再从场强分布求电势。 从电荷分布求场强，再从场强分布求电势。 计算均匀带电球面的电场中的电势分布。 例2 计算均匀带电球面的电场中的电势分布。球面半 径为R，总带电量为q。 解： + + + + + + + + q + （2）由高斯定律可知电场分布为； 由高斯定律可知电场分布为； + r E = 0 (r < R) + + r 1 q r + E= ⋅ 2 er (r > R) （1）取无穷远处为电势零点； 取无穷远处为电势零点；
∞
1
UP = ∫
=∫
∞
∞
P
r r E ⋅ dr
U
r
q 4πε 0 R
R
1 Uµ r
q q ⋅ 2 dr = 4πε 0 r 4πε o r
1
r
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结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势， 结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势， 球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。 球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。
v v v v E =E1+E2 +L+ En
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电场力对试验电荷q0做功为
v v Aab = q0 ∫ E ⋅ dl a v v v b v b v b v = q0 ∫ E1 ⋅ dl + q0 ∫ E2 ⋅ dl +L+ q0 ∫ En ⋅ dl
b
a a a
= A1 + A2 +L+ An
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三、 电势(electric potential) 电势(electric
电势能 由环路定理知，静电场是保守场。 由环路定理知，静电场是保守场。 电势能。 保守场必有相应的势能，对静电场则为电势能 保守场必有相应的势能，对静电场则为电势能。 静电力的功，等于静电势能的减少。 静电力的功，等于静电势能的减少。
WA WB B v v UAB = UA −UB = − = ∫A E ⋅ dl q0 q0
AAB = q0 (U A − U B )
上式是计算电场力作功和计算 电势能变化常用公式。 电势能变化常用公式。 沿着电场线方向，电势降低。 沿着电场线方向，电势降低。 A B
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四、电势的计算
qi q0 1 1 =∑ − 总功也与路径无关。 总功也与路径无关。 πε0 ria rib i=1 4
n
静电场中移动时 结论：试验电荷在任意给定的静电场中移动时， 结论：试验电荷在任意给定的静电场中移动时， 电场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起 点和终点位置有关，而与具体路径无关。 点和终点位置有关，而与具体路径无关。 静电场是保守场，静电场力是保守力。 静电场是保守场，静电场力是保守力。
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二、 静电场的环路定理
试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径 试验电荷 L运动一周时，电场力对 0做的功 =？ 运动一周时，电场力对q 做的功A=
安培
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在闭合路径L上任取两点 在闭合路径 上任取两点P1、P2，将L分成 上任取两点 分成 L1、L2两段， 两段，
R
o + + +
4πε 0 r
（3）确定电势分布； 确定电势分布；
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(1) + + + + + + + + q + + + + +
UP = ∫
∞
P
r r R r r ∞r r E ⋅ dr = ∫ E ⋅ dr + ∫ E ⋅ dr
r R
当r≤R时 时
R
o + + +
q q =∫ ⋅ 2 dr = R 4πε 4πε o R 0 r (2)当 (2)当r>R时
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为了能求得P点的电势， 为了能求得 点的电势，可先应用电势差和场强 点的电势 的关系式，求出在轴上P点 和点的电势差。 的关系式，求出在轴上 点P1和点的电势差。无限 长均匀带电直线在x轴上的场强为 长均匀带电直线在 轴上的场强为
λ E= 2πε0r
于是， 点沿x轴积分可算得 点与参考点P 于是 ， 过 P点沿 轴积分可算得 点与参考点 1 点沿 轴积分可算得P点与参考点 的电势差
σ
σ
r 1 r2
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例4
计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。
令无限长直线如图放置， 其上电荷线密度为λ 解 ： 令无限长直线如图放置 ， 其上电荷线密度为 。 计算在x轴上距直线为的任一点 处的电势。 轴上距直线为的任一点P 计算在 轴上距直线为的任一点P处的电势。 因为无限长带电直线的电荷分布 y 延伸到无限远的， 延伸到无限远的，所以在这种情 况下不能用连续分布电荷的电势 公式来计算电势V， 公式来计算电势 ，否则必得出无 x r P 限大的结果，显然是没有意义的。 限大的结果，显然是没有意义的。 O r1 P1 同样也不能直接用公式来计算电 势，不然也将得出电场任一点的 电势值为无限大的结果。 电势值为无限大的结果。