[规律方法] 1．解一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c ＞0(a＞0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确 定一元二次不等式的解集． 2．(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的 单调性进行转化． (2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨 论．
[变式训练] (1)不等式x－4 2≤x－2的解集是(
＋
y b
＝1(a＞0，b
＞0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________． (2)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，
剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图
形，设小矩形的长、宽分别为a，b(2≤a≤10)，
)
A．(－∞，0]∪(2，4] B．[0，2)∪[4，＋∞)
C．[2，4)
D．(－∞，2]∪(4，＋∞)
(2)(2018·衡阳一模)已知一元二次不等式f(x)≤0的解
集为xx≤12或x≥3，则f(ex)＞0的解集为(
)
A．{x|x＜－ln 2或x＞ln 3}
B．{x|ln 2＜2＜ln 3}
C．{x|x＜ln 3}
专题一 函数与导数、不等式
第3讲 不等式
1．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件
22xx＋ －33yy－ ＋33≤ ≥00， ，则z＝2x＋y的最小值是(
)
y＋3≥0，
A．－15
B．－9
C．1
D．9
解析：可行域如图阴影部分所示，当直线
y＝－2x＋z经过点A(－6－15.
号，
故2a＋81b的最小值为14. 答案：14
从近年高考看不等式的求解，利用基本不等式求最 值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空 题为主，中等难度．但在函数与导数的解答题中，会涉 及不等式的求解，能力要求高．
热点1 不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，再求相应一元 二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函 数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)gf（（xx））＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)． (2)gf（（xx））≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
所以12＜ex＜3，解得－ln 2＜x＜ln 3. 答案：(1)B (2)D
热点2 基本不等式及其应用
1．几个不等式
(1)a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a＝b)．
(2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)．
(3)
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb(a＞0，b＞0)．
(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成
答案：A
2．(2018·北京卷)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y ＞4，x－ay≤2}，则( )
A．对任意实数a，(2，1)∈A B．对任意实数a，(2，1)∉A C．当且仅当a＜0时，(2，1)∉A D．当且仅当a≤32时，(2，1)∉A
解析：若(2，1)∈A，则222－ a－＋1a≥ 1≤＞12， 4，，解得a＞32. 故当a＞32时，(2，1)∈A；当a≤32时，(2，1)∉A. 答案：D
4．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，
则2a＋81b的最小值为________．
解析：由题设a－3b＋6＝0，得a－3b＝－6，
又2a＞0，8b＞0.
a－3b 所以2a＋81b≥2 2a·81b＝2·2 2 ＝14，
当且仅当 2a＝81b，
即a＝－3，b＝1时取等
a－3b＋6＝0，
3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式， 可利用函数的单调性求解．
【例1】 (1)(2018·安徽淮南市联考)在关于x的不等
式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中至多包含2个整数，则实数
a的取值范围是( )
A．(－3，5)
B．(－2，4)
C．[－3，5]
D．[－2，4]
(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝
立)．
2．利用基本不等式求最值 (1)如果x＞0，y＞0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y 有最小值2 p(简记为：积定，和有最小值)． (2)如果x＞0，y＞0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy 有最大值14s2(简记为：和定，积有最大值)．
【例2】
(1)(2017·山东卷)若直线
x a
3．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件 xx＋ －22yy－ ＋53≥ ≥00， ，则z＝x＋y的最大值为________． x－5≤0，
解析：由线性约束条件画出可行域(如图所示的阴影 部分)，
联立xx－ －25y＝＋03. ＝0，解得xy＝＝45.， 所以A(5，4)． 由图可知，当直线x＋y－z＝0经过点A(5，4)时，z ＝x＋y取得最大值，最大值为9. 答案：9
D．{x|－ln 2＜x＜ln 3}
解析：(1)当x－2＞0时，不等式化为(x－2)2≥4， 所以x≥4. 当x－2＜0时，原不等式化为(x－2)2≤4， 所以0≤x＜2. 综上可知，原不等式的解集为[0，2)∪[4，＋∞)． (2)由题意可知，一元二次不等式所对应的二次函数 的图象开口方向向下，故f(x)＞0的解集为x12＜x＜3， 又f(ex)＞0，
(2)当x≤0时，f(x)＋fx－12＝(x＋1)＋x－12＋1， 原不等式化为2x＋32＞1，解得－14＜x≤0， 当0＜x≤12时，f(x)＋fx－12＝2x＋x－12＋1， 原不等式化为2x＋x＋12＞1，该式恒成立， 当x＞12时，f(x)＋fx－12＝2x＋2x－12，
又x＞12时，2x＋2x－12＞212＋20＝1＋ 2＞1恒成立， 综上可知，不等式的解集为－14，＋∞. 答案：(1)D (2)－14，＋∞
x＋1，x≤0， 2x，x＞0，
则满
足f(x)＋fx－12＞1的x的取值范围是________．
解析：(1)因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0可 化为(x－1)(x－a)＜0，
当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}； 当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}， 要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a ≥－2. 所以实数a的取值范围是[－2，4]．