共4页 第1页 河 北 工 业 大 学 期 末 考 试 试 卷

2012 年（秋）季学期

课程名称： 计算方法 C卷（闭卷）

适应专业： 计算机科学与技术，网络工程，软件工程

学院名称 班级 姓名 学号

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 总分

分数

阅卷人

一、填空题（每空2分，共20分）

1、计算方法主要研究 误差和 误差；

2、)(,),(),(10xlxlxln是以整数点nxxx,,,10为节点的Lagrange插值基函数，则0nkklx= ，0nkjkkxlx= .

3、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求 5 1fxdx 。

4、设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求'1f 。

5、若用二分法求方程0xf在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。

6、解线性方程组Axb的高斯顺序消元法满足的充要条件为 。

7、已知11A51，则A的谱半径 A（） ，则 A。

二、综合题（共80分）

1. (本题10分)已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式2Lx及f (1，5)的近似值，取五位小数。

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2012 年（秋）季学期

学院名称： 班级： 姓名： 适应专业： 课程名称：计算方法

2. (本题10分)用复化Simpson公式计算积分 1 0sinxIdxx的近似值，要求误差限为5105.0。

3. (本题10分)取步长2.0h，用预估-校正法解常微分方程初值问题

1)0(32yyxy )10(x，并求02(.)y的近似值。

4. (本题10分)写出求方程4cos1xx在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。

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2012 年（秋）季学期

学院名称： 班级： 姓名： 适应专业： 课程名称：计算方法

5.（本题10分）用直接三角分解（Doolittle）法解方程组 1231231232314252183520xxxxxxxxx。

6、（本题10分）已知方程组Axb，其中

211121112A，111b

(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；

(2) 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。

共4页 第4页 河 北 工 业 大 学 期 末 考 试 试 卷

2012 年（秋）季学期

学院名称： 班级： 姓名： 适应专业： 课程名称：计算方法

7. （本题10分）假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m和100.00m，且已知其测量误差为0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。

8. （本题10分）已知数值积分公式为：

)]()0([)]()0([2)(''20hffhhffhdxxfh，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。

共4页 第5页 2012 年 秋 季 (计算方法)

(C) 卷标准答案及评分细则

一、 填空题 （每题2分，共20分）

1、 截断 舍入 ；

2、则0nkklx= 1 ，0nkjkkxlx= jx，

4、 12 。

4、 2.5 。

5、10 次。

6、A的各阶顺序主子式均不为零。

7、15A（） ，则6 A。

二、综合题（共80分）

1. （本题10分）已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2xL及f (1，5)的近似值，取五位小数。

解：)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2xxxxxxxL（6分）

)1)(1(34)2)(1(23)2)(1(32xxxxxx（2分）

04167.0241)5.1()5.1(2Lf（2分）

2. （本题10分）用复化Simpson公式计算积分10sindxxxI的近似值，要求误差限为5105.0。

0.9461458812140611fffS（3分）

0.94608693143421241401212fffffS（4分）

5-12210933.0151SSSI 94608693.02SI（3分）

或利用余项：!9!7!5!31sin8642xxxxxxxf

!49!275142)4(xxxf 51)4(xf 共4页 第6页 54)4(45105.05288012880nfnabR，2n，2SI

3. （本题10分）取步长2.0h，用预估-校正法解常微分方程初值问题

1)0(32yyxy )10(x，并求02(.)y的近似值。

答案：解： )]32()32[(1.0)32(2.0)0(111)0(1nnnnnnnnnnyxyxyyyxyy（6分）

即 04.078.152.01nnnyxy （2分）

02(.)y=1.82 （2分）

4. （本题10分）写出求方程1cos4xx在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。

解：：nnnxxxcos1411，n=0,1,2,…（5分）

141sin41'xx （3分）∴ 对任意的初值]1,0[0x,迭代公式都收敛。（2分）

5.（本题10分）用直接三角分解（Doolittle）法解方程组 1231231232314252183520xxxxxxxxx。

答案：解：2441321153121LUA（6分）

令byL得T)72,10,14(y，（2分）yxU得T)3,2,1(x.（2分）

6、（本题10分）已知方程组Axb，其中

211121112A，111b

(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；

(2) 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。

解：（1）Jacobi迭代法： 共4页 第7页 112312131312121212()()()()()()()()()()/()/()/kkkkkkkkkxxxxxxxxx （3分）

Gauss-Seidel迭代法：

112311213111312121212()()()()()()()()()()/()/()/kkkkkkkkkxxxxxxxxx（3分）

（2）Jacobi迭代矩阵：

1110221102211022()BDLU （2分）

1()B 收敛性不能确定 （2分）

7. （本题10分）假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m和100.00m，且已知其测量误差为0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。

解：hrV2 （2分）

)*(2*rrrhVV=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325 （6分）

VVV*=2rrr*=0.0002 （2分）

8. （本题10分）已知数值积分公式为：

)]()0([)]()0([2)(''20hffhhffhdxxfh，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。

解：1)(xf显然精确成立；（1分）

xxf)(时，]11[]0[22220hhhhxdxh；（2分）

2)(xxf时，12122]20[]0[23322302hhhhhhhdxxh；（2分）

3)(xxf时，]30[121]0[24223403hhhhhdxxh；（2分）

4)(xxf时，6]40[121]0[255324504hhhhhhdxxh；（2分）

所以，其代数精确度为3。（1分）

（10分） 共4页 第8页