代 入
d i f (t ) Ef (t ) dt 2 [ 2 V ] (r ) E (r ) 2
i Et ( r , t ) ( r )e
f (t ) ~ e iEt /
于是：
i Et ( r , t ) ( r )e
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
空间波函数ψ(r)由方程
2 2 [ V ] (r ) E (r ) 2
i [ n ( r ) n ( r ) n ( r ) n ( r )] 2 J n (r )

（3）处于定态时力学量（不显含时间）的期待值是常数
Q( x, p) n* ( x, t ) Q( x,i / x)n ( x, t )dx ( x) Q( x,i / x) n ( x)dx 常量（不随时间变化）
i J n (r , t ) [nn n n ] 2 i [ n e xp( iE n t / ) n e xp( iE n t / ) 2
n e xp( iE n t / ) n e xp( iE n t / )]
第二章 定态薛定鄂方程
（一）定态Schrödinger方程，定态 （二）能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质 （五）如何由定态得到一般解
（一）定态Schrödinger方程，定态
讨论有外场情况下的 Schrödinger 方程：
V(r)与t无关时，可以 分离变量
2 2 i ( r , t ) [ V ( r )]( r , t ) t 2
iEm t /
e e
n m
iEn t /
c
* n
cm ( x ) H m ( x ) dx
* n

iEn t /
e iE e iE
n
mt
/
* * c c n m n ( x ) Em m ( x ) dx * cn cm Em nm 2
e
n m n
令：
( r , t ) ( r ) f ( t )
两边同除 (r ) f (t )
等式两边是相互无 关的物理量，故应 等于与 t, r 无关 的常数
d 2 2 i ( r ) f ( t ) f ( t )[ V ] ( r ) dt 2 2 1 d 1 2 i f (t ) V ] ( r ) E [ f ( t ) dt ( r ) 2
n
其中展开系数由初始条件定
n
n
( x,0) cn n ( x,0) cn n ( x)
n n
由定态波函数的正交归一性
cn * ( x) ( x,0)dx
我们来求处在
( x, t )
*
能量的期待值

H
n

m

( x, t ) H ( x, t ) dx e
n (r , t ) nn

[ n e xp( iEn t / )] [ n e xp( iEn t / )]
n e xp( iEnt / ) n e xp( iEnt / ) n (r ) n (r )
（2）几率流密度与时间无关
* n
推论
x 常量 p 0
4. 能量本征函数是完备的正交归一系 可以证明（以后证明）
* m (r) n (r)dr mn
正交归一性
薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为
( x, t ) cn n ( x, t ) cneiE t / n ( x)
和具体的边界条件所确定。
该方程称为定态 Schrödinger 方程。
（二）能量本征值方程
[ 2 V ] E 2
或
ˆ E H
（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数 这与数学物理方法中的本征值方程相同。 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题； （2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物 理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。 因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。 （3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写 的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
2 2 [ V ] ( r ) E ( r ) 2
（1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准 条件求解能量 E 的 本征值问题，得： （3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
本征值： 本征函数
E1 ,
E2 , ,
En ,
1， 2 , ,
n,
n (r , t ) n (r ) e xp[ iEn t / ]
（4）通过归一化确定归一化系数 Cn



| Cn n (r ) |2 d 1
（四）定态的性质
（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关
iEn t /
mt
/
* cn En cn

cn
En
我们在来看 ( x, t ) 的Байду номын сангаас一化