中考数学反比例函数综合题附答案 一、反比例函数 1．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、An﹣1PnAnBn都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、An﹣1An都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1 ， y1），点P2（x2 ，

y2），…，Pn（xn ， yn）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．

（1）求反比例函数y= 的解析式； （2）求点P2和点P3的坐标； （3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△PnBnO的面积为 ________ ，点Pn的坐标为________ （用含n的式子表示）． 【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线， 则B1与P1关于y轴对称， ∵B1（﹣1，1），

∴P1（1，1）．

则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y= （2）解：连接P2B2、P3B3 ， 分别交y轴于点E、F， 又点P1的坐标为（1，1）， ∴OA1=2，

设点P2的坐标为（a，a+2），

代入y=得a=-1， 故点P2的坐标为（-1，+1）， 则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2， 设点P3的坐标为（b，b+2），

代入y=（>0）可得b=-， 故点P3的坐标为（-，+） （3）1；（- ， +）

【解析】【解答】解：（3）∵ =2=2×=1，=2=2×=1，… ∴△PnBnO的面积为1，

由P1（1，1）、P2（ ﹣1， +1）、P3（ ﹣ ， + ）知点Pn的坐标为（ ﹣ ， + ）， 故答案为：1、（ ﹣ ， + ）． 【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可； （2）连接P2B2、P3B3 ， 分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标； （3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.

2．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实数a、b ， 可作如下变形a+b= = - + = + , 又∵ ≥0， ∴ + ≥0+ ，即 ≥ ．

（1）根据上述内容，回答下列问题：在 ≥ （a、b均为正实数）中，若ab为定值p ， 则a+b≥ ，当且仅当a、b满足________时，a+b有最小值 ．

（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD＝2a ， DB＝2b, 试根据图形验证 ≥ 成立，并指出等号成立时的条件．

（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数 的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．

【答案】（1）a=b （2）解：有已知得CO=a+b,CD=2 ,CO≥CD,即 ≥2 . 当D与O重合时或a=b时，等式成立.

（3）解： , 当DE最小时S四边形ADFE最小. 过A作AH⊥x轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，

所以DE最小值为8，此时S四边形ADFE= （4+3）=28. 【解析】【分析】（1）根据题中的例子即可直接得出结论。 （2）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，CD=，再由（1）中的结论即可得出等号成立时的条件。 （3）过点A作AH⊥x轴于点H，根据S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE

， 可知当DH=EH时DE最

小，由此可证得结论。

3．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点． （1）求m的值； （2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式； （3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1 ， 是四边

形OACD面积S的 ？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵反比例函数的图象都经过点A（3，3），

∴经过点A的反比例函数解析式为：y= ， 而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），

∴m=

（2）解：∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6， ）， 与x轴、y轴分别交于C、D两点， 而这些OA的解析式为y=x， 设直线CD的解析式为y=x+b

代入B的坐标得： =6+b， ∴b=﹣4.5， ∴直线OC的解析式为y=x﹣4.5， ∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，﹣4.5）， 设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

分别把A、B、D的坐标代入其中得： 解之得：a=﹣0.5，b=4，c=﹣4.5 ∴y=﹣0.5x2+4x﹣4.5

（3）解：如图， 设E的横坐标为x， ∴其纵坐标为﹣0.5x2+4x﹣4.5，

∴S1= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+OD）×OC，

= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+4.5）×4.5， = （﹣0.5x2+4x）×4.5， 而S= （3+OD）×OC= （3+4.5）×4.5= ， ∴ （﹣0.5x2+4x）×4.5= ，

解之得x=4± ， ∴这样的E点存在，坐标为（4﹣ ，0.5），（4+ ，0.5）． 【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，又点B在反比例函数图像上，代入即可求得m的值；（2）先根据点A的坐标求得直线OA的解析式，再结合点B的坐标求得直线CD的解析式，从而可求得点C、D的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）先设出抛物线上E点的坐标，从而表示出面积S1，再求得面积S的值，令其相等可得到关于x的二元一次方程，方程有解则点E存在，并可求得点E的坐标.

4．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）

（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式； （2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P． ①试求△PAD的面积的最大值； ②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3. 由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况： ①当x-3时，y=x+3； ②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b， 在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1， 则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1）， 把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，

得：， 解得：， ∴y=-x-3.

综上，新函数的解析式为y=. （2）解：如图2， ①∵点C（1，a）在直线y=x+3上， ∴a=4，

∵点C（1，4）在反比例函数y=上， ∴k=4，

∴反比例函数的解析式为y=. ∵点D是线段AC上一动点， ∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，

∴点P的坐标为（，m+3）， ∴PD=-m， ∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，

∵a=<0， ∴当m=时，S有最大值，最大值为， 又∵-3<<1， ∴△PAD的面积的最大值为. ②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下： 当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2）， ∵DP=3，DE=4， ∴EP与AC不能互相平分， ∴四边形PAEC不能为平行四边形. 【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.

5．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象经过点A（1，4），B（m，n）．

（1）求反比例函数 的解析式； （2）若二次函数 的图象经过点B，求代数式 的值；

（3）若反比例函数 的图象与二次函数 的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．

【答案】 （1）解：将A（1，4）代入函数y＝ 得：k=4 反比例函数y＝ 的解析式是