则
，
解得：
，
∵ OM= ，
∴ 12+（﹣ ）2=（ ）2 ，
a=± （3）解：当 a=﹣2 时，y=﹣2x+2，
∴ 点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（0，2），
∵ 将 Rt△ AOB 在第一象限内沿直线 y=x 平移 ∴ A′（2，1），B′（1，3），
个单位得到 Rt△ A′O′B′，
∴ 0＜m＜ ，，DANG
则
，
﹣3x+2= ，
当 x=m 时，﹣3m+2= ，
∴ k=﹣3m2+2m（0＜m＜ ）
（2）解：由题意得：
，
ax+2= ， ax2+2x﹣k=0，
∵ 直线 y=ax+2（a≠0）与双曲线 y= ∴ △ =4+4ak=0， ak=﹣1，
有唯一公共点 M 时，
∴ k=﹣ ，
（4）解：①当 m＜2 时，有 2（2﹣m）2+m﹣2=1， 解得：m1=1，m2= （舍去）；②当 2≤m≤4 时，有 m﹣2=1， 解得：m3=3；③当 m＞4 时，有 2（4﹣m）2+m﹣2=1， 整理得：2m2﹣15m+29=0．
∵ △ =（﹣15）2﹣4×2×29=﹣7，无解． ∴ m 的值为 1 或 3． ①当 k＞0 时，如图得当 0＜x≤2 时，y= 无最大值，有最小值 ，同 理当 a＜0 时，且 a≤x＜0 时，y≤ 有最大值 ，无最小值，②当 k＜0 时，如图得当 0＜ x≤2 时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当 a＜0 时，且 a≤x＜0 时，y≤ 有最小值 ，无 最大值，∴ 当 k＜0，a＜0 时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a 的取值 范围是 a＜0；
P1、P2 的一次函数的函数值大于反比例函数 y= 【答案】（1）减小 （2）解：①如图所示，作 P1B⊥OA1 于点 B，
的函数值．
∵ A1 的坐标为（2，0）， ∴ OA1=2， ∵ △ P1OA1 是等边三角形， ∴ ∠ P1OA1=60°， 又∵ P1B⊥OA1 ， ∴ OB=BA1=1， ∴ P1B= ， ∴ P1 的坐标为（1， ）， 代入反比例函数解析式可得 k= ，
解得：x= ，
∴ 点 G（0， ）． 过点 F 作 FH⊥CB 于点 H，如图所示．
由折叠的特性可知：∠ GDF=∠ GOF=90°，OG=DG，OF=DF． ∵ ∠ CGD+∠ CDG=90°，∠ CDG+∠ HDF=90°， ∴ ∠ CGD=∠ HDF， ∵ ∠ DCG=∠ FHD=90°， ∴ △ GCD∽ △ DHF，
∴ 反比例函数的解析式为 y= ； ②如图所示，过 P2 作 P2C⊥A1A2 于点 C， ∵ △ P2A1A2 为等边三角形， ∴ ∠ P2A1A2=60°， 设 A1C=x，则 P2C= x， ∴ 点 P2 的坐标为（2+x， x）， 代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ， 解得 x1= ﹣1，x2=﹣ ﹣1（舍去）， ∴ OC=2+ ﹣1= +1，P2C= （ ﹣1）= ﹣ ， ∴ 点 P2 的坐标为（ +1， ﹣ ），
2．如图 1，已知一次函数 y=ax+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，反比例函数 y= 经过点 M．
（1）若 M 是线段 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合）．当 a=﹣3 时，设点 M 的横坐标 为 m，求 k 与 m 之间的函数关系式． （2）当一次函数 y=ax+2 的图象与反比例函数 y= 的图象有唯一公共点 M，且 OM= ，求 a 的值．
值范围，由﹣3x+2= ,由 X=m 得 k=﹣3m2+2m（0＜m＜ ）；（2）由 ax+2= 得 ax2+2x﹣
k=0，直线 y=ax+2（a≠0）与双曲线 y= 有唯一公共点 M 时，△ =4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股 定理即可；（3）当 a=﹣2 时，y=﹣2x+2，从而求出 A、B 两点的坐标，由平移的知识知 A′，B′点的坐标，从而得到 k 的取值范围。
∴
=2，
∴ DF=2GD= ，
∴ 点 F 的坐标为（ ，0）． 设折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=ax+b，
∴有
，解得：
．
∴ 折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=﹣ x+ 【解析】【分析】（1）由点 E 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 k 值， 再由点 B 在反比例函数图象上，代入即可求出 m 值；（2）设 OG=x，利用勾股定理即可得 出关于 x 的一元二次方程，解方程即可求出 x 值，从而得出点 G 的坐标．再过点 F 作 FH⊥CB 于点 H，由此可得出△ GCD∽ △ DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段 DF 的长 度，从而得出点 F 的坐标，结合点 G、F 的坐标利用待定系数法即可求出结论．
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于 A、B 两点，点 A 的坐标 为（2，3n），点 B 的坐标为（5n+2，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）将一次函数 y=kx+b 的图象沿 y 轴向下平移 a 个单位，使平移后的图象与反比例函数
（3）当 a=﹣2 时，将 Rt△ AOB 在第一象限内沿直线 y=x 平移 个单位长度得到 Rt△ A′O′B′，如图 2，M 是 Rt△ A′O′B′斜边上的一个动点，求 k 的取值范围．
【答案】（1）解：当 a=﹣3 时，y=﹣3x+2， 当 y=0 时，﹣3x+2=0，
x= ， ∵ 点 M 的横坐标为 m，且 M 是线段 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合），
点 M 是 Rt△ A′O′B′斜边上一动点， 当点 M′与 A′重合时，k=2， 当点 M′与 B′重合时，k=3， ∴ k 的取值范围是 2≤k≤3 【解析】【分析】（1）当 a=﹣3 时，直线解析式为 y=﹣3x+2，求出 A 点的横坐标，由于 点 M 的横坐标为 m，且 M 是线段 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合）从而得到 m 的取
4．如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 D 为 BC 边上的点，反比
例函数 y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点 D（m，2）和 AB 边上的点 E（3，
）． （1）求反比例函数的表达式和 m 的值； （2）将矩形 OABC 的进行折叠，使点 O 于点 D 重合，折痕分别与 x 轴、y 轴正半轴交于点 F，G，求折痕 FG 所在直线的函数关系式．
∴
，
解得
，
∴ 反比例函数与一次函数的表达式分别为 y= ，y=﹣ x+7．
（2）解：设平移后的一次函数的解析式为 y=﹣ x+7﹣a，
由
，消去 y 得到 x2+（2a﹣14）x+24=0，
由题意，△ =0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，
解得 a=7±2 ．
（3）（0，6）或（0，8）
【解析】【解答】（3）设直线 AB 交 y 轴于 K，则 K（0，7），设 E（0，m），
3．如图，P1、P2（P2 在 P1 的右侧）是 y= （k＞0）在第一象限上的两点，点 A1 的坐标为 （2，0）．
（1）填空：当点 P1 的横坐标逐渐增大时，△ P1OA1 的面积将________（减小、不变、增 大） （2）若△ P1OA1 与△ P2A1A2 均为等边三角形， ①求反比例函数的解析式； ②求出点 P2 的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当 x 满足什么条件时，经过点
（2）解：令 y= ≤2， 解得：x＜0 或 x≥1． ∴ 符合条件的 x 的范围为 x＜0 或 x≥1
（3）解：①当 k＞0 时，如图得当 0＜x≤2 时，y= 无最大值，有最小值 ，同理当 a＜0 时，且 a≤x＜0 时，y≤ 有最大值 ，无最小值，②当 k＜0 时，a≤x＜0 时，y≤ 有最小值 ，无最大值，∴ 当 k＜0，a＜0 时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a 的取值范围是 a＜0
y= 的图象有且只有一个交点，求 a 的值； （3）点 E 为 y 轴上一个动点，若 S△ AEB=5，则点 E 的坐标为________． 【答案】（1）解：∵ A、B 在反比例函数的图象上， ∴ 2×3n=（5n+2）×1=m， ∴ n=2，m=12， ∴ A（2，6），B（12，1）， ∵ 一次函数 y=kx+b 的图象经过 A、B 两点，
且 a≤x＜0 时，得到 y≤ 有最大值 ，无最小值，②当 k＜0 时，如图得当 0＜x≤2 时，y=
无最小值，有最大值 ，同理当 a＜0 时，且 a≤x＜0 时，y≤ 有最小值 ，无最大值，于 是得到结论；（4）分 m＜2、2≤m≤4 和 m＞4 三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当 2≤x≤4 时有最小值为 1 即可得出关于 m 的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出 结论．
∴ 当 1＜x＜ +1 时，经过点 P1、P2 的一次函数的函数值大于反比例函数 y= 的函数值 【解析】【解答】解：（1）当点 P1 的横坐标逐渐增大时，点 P1 离 x 轴的距离变小，而
OA1 的长度不变， 故△ P1OA1 的面积将减小， 故答案为：减小； 【分析】（1）当点 P1 的横坐标逐渐增大时，点 P1 离 x 轴的距离变小，而 OA1 的长度不 变，故△ P1OA1 的面积将减小；（2）①由 A1 的坐标为（2，0），△ P1OA1 是等边三角形， 求出 P1 的坐标，代入反比例函数解析式即可；②由△ P2A1A2 为等边三角形，求出点 P2 的 坐标，得出结论.