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中考数学反比例函数综合题

中考数学反比例函数综合题一、反比例函数1.如图,已知A(﹣4,),B(﹣1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数(m≠0,m<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D.(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值?(2)求一次函数解析式及m的值;(3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标.【答案】(1)解:当﹣4<x<﹣1时,一次函数大于反比例函数的值;(2)把A(﹣4,),B(﹣1,2)代入y=kx+b得,解得,所以一次函数解析式为y= x+ ,把B(﹣1,2)代入y= 得m=﹣1×2=﹣2;(3)解:如下图所示:设P点坐标为(t,t+ ),∵△PCA和△PDB面积相等,∴• •(t+4)= •1•(2﹣t﹣),即得t=﹣,∴P点坐标为(﹣,).【解析】【分析】(1)观察函数图象得到当﹣4<x<﹣1时,一次函数图象都在反比例函数图象上方;(2)先利用待定系数法求一次函数解析式,然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值;(3)设P点坐标为(t, t+ ),利用三角形面积公式可得到• •(t+4)= •1•(2﹣ t﹣),解方程得到t=﹣,从而可确定P点坐标.2.如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,m)和B(﹣8,﹣2),与y轴交于点C.(1)m=________,k1=________;(2)当x的取值是________时,k1x+b>;(3)过点A作AD⊥x轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP 与线段AD交于点E,当S四边形ODAC:S△ODE=3:1时,求点P的坐标.【答案】(1)4;(2)﹣8<x<0或x>4(3)解:由(1)知,y1= x+2与反比例函数y2= ,∴点C的坐标是(0,2),点A 的坐标是(4,4).∴CO=2,AD=OD=4.∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12,∵S四边形ODAC:S△ODE=3:1,∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4,即OD•DE=4,∴DE=2.∴点E的坐标为(4,2).又点E在直线OP上,∴直线OP的解析式是y= x,∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为(4 ,2 ).【解析】【解答】解:(1)∵反比例函数y2= 的图象过点B(﹣8,﹣2),∴k2=(﹣8)×(﹣2)=16,即反比例函数解析式为y2= ,将点A(4,m)代入y2= ,得:m=4,即点A(4,4),将点A(4,4)、B(﹣8,﹣2)代入y1=k1x+b,得:,解得:,∴一次函数解析式为y1= x+2,故答案为:4,;(2)∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,4)和B(﹣8,﹣2),∴当y1>y2时,x的取值范围是﹣8<x<0或x>4,故答案为:﹣8<x<0或x>4;【分析】(1)由A与B为一次函数与反比例函数的交点,将B坐标代入反比例函数解析式中,求出k2的值,确定出反比例解析式,再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值,确定出A的坐标,将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值;(2)由A与B 横坐标分别为4、﹣8,加上0,将x轴分为四个范围,由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可;(3)先求出四边形ODAC的面积,由S四边形ODAC:S△ODE=3:1得到△ODE的面积,继而求得点E的坐标,从而得出直线OP的解析式,结合反比例函数解析式即可得.3.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y= (k>0,x>0)的图象上,点D的坐标为(,2).(1)求k的值;(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的一个顶点恰好落在函数y= (k>0,x >0)的图象上时,求菱形ABCD平移的距离.【答案】(1)解:作DE⊥BO,DF⊥x轴于点F,∵点D的坐标为(,2),∴DO=AD=3,∴A点坐标为:(,5),∴k=5 ;(2)解:∵将菱形ABCD向右平移,使点D落在反比例函数y= (x>0)的图象上D′,∴DF=D′F′=2,∴D′点的纵坐标为2,设点D′(x,2)∴2= ,解得x= ,∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ,∴菱形ABCD平移的距离为,同理,将菱形ABCD向右平移,使点B落在反比例函数y= (x>0)的图象上,菱形ABCD平移的距离为,综上,当菱形ABCD平移的距离为或时,菱形的一个顶点恰好落在函数图象上.【解析】【分析】(1)根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标,代入求出即可;(2)B和D可能落在反比例函数的图象上,根据平移求出即可.4.已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y= (k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+ .(1)当n=1时,求点A的坐标;(2)若OP=AP,求k的值;(3)设n是小于20的整数,且k≠ ,求OP2的最小值.【答案】(1)解:过点P作PQ⊥x轴于Q,则PQ=n,OQ=m,当n=1时,s= ,∴a= = .(2)解:解法一:∵OP=AP,PA⊥OP,∴△OPA是等腰直角三角形.∴m=n= .∴1+ = •an.即n4﹣4n2+4=0,∴k2﹣4k+4=0,∴k=2.解法二:∵OP=AP,PA⊥OP,∴△OPA是等腰直角三角形.∴m=n.设△OPQ的面积为s1则:s1= ∴•mn= (1+ ),即:n4﹣4n2+4=0,∴k2﹣4k+4=0,∴k=2.(3)解:解法一:∵PA⊥OP,PQ⊥OA,∴△OPQ∽△OAP.设:△OPQ的面积为s1,则 =即: = 化简得:化简得:2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0(k﹣2)(2k﹣n4)=0,∴k=2或k= (舍去),∴当n是小于20的整数时,k=2.∵OP2=n2+m2=n2+ 又m>0,k=2,∴n是大于0且小于20的整数.当n=1时,OP2=5,当n=2时,OP2=5,当n=3时,OP2=32+ =9+ = ,当n是大于3且小于20的整数时,即当n=4、5、6…19时,OP2的值分别是:42+ 、52+ 、62+ …192+ ,∵192+ >182+ >32+ >5,∴OP2的最小值是5.【解析】【分析】(1)利用△OPA面积定义构建关于a的方程,求出A的坐标;(2)由已知OP=AP,PA⊥OP,可得△OPA是等腰直角三角形,由其面积构建关于n的方程,转化为k的方程,求出k;(3)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程,最值问题的基本解决方法就是函数思想,利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.5.如图、在矩形OABC中,,双曲线与矩形两边BC,AB 分别交于E,F两点.(1)如图一,若E是BC中点,求点F的坐标;(2)如图二,若将沿直线EF对折,点B恰好落在x轴上的点D处,求k的值. 【答案】(1)解:矩形OABC中,,,E是BC中点,点 .点E在双曲线上,..点F的横坐标为4,且在双曲线上,,即点;(2)解:过点E做轴于H点,点点, ., .,,,∽ .,,.,,.【解析】【分析】(1)根据E点坐标求出k的值,而后把F点的横坐标代入反比例函数解析式求出纵坐标;(2)过点E做轴于H点,根据∽,分别用k 表示出DF、AF、AD长度,根据勾股定理构造出关于k的方程.6.对于某一函数给出如下定义:若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如:下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.(1)分别判断函数y=x-1,y=x-1,y=x2有没有不变值?如果有,直接写出其不变长度;(2)函数y=2x2-bx.①若其不变长度为零,求b的值;②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围;(3)记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2,函数G的图象由G1和G2两部分组成,若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为________.【答案】(1)解:函数y=x-1没有不变值;∵函数有-1和1两个不变值,∴其不变长度为2;∵函数有0和1两个不变值,∴其不变长度为1;(2)解:① 函数y=2x2-bx的不变长度为0,方程2x2-bx=x有两个相等的实数根,∴△=(b+1)2=0,b=-1,②∵2x2-bx=x,∴,1≤b≤3,1≤ ≤2,函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围为1≤q≤2.(3)1≤m≤3或m<-【解析】【解答】解(3)依题可得:函数G的图像关于x=m对称,∴函数G:y=,当x2-2x=x时,即x(x-3)=0,∴x3=0,x4=3,当(2m-x)2-2(2m-x)=x时,即x2+(1-4m)x+(4m2-4m)=0,∴△=(1-4m)2-4×(4m2-4m)=1+8m,当△=1+8m0时,即m-,此方程无解,∴q=x4-x3=3-0=3;当△=1+8m 0时,即m -,此方程有解,∴x5=, x6=,①当-m0时,∵x3=0,x4=3,∴x60,∴x4-x63(不符合题意,舍去),②∵当x5=x4时,∴m=1,当x6=x3时,∴m=3,当0m1时,x3=0(舍去),x4=3,此时0x5x4, x60,∴q=x4-x63(舍去);当1m3时,x3=0(舍去),x4=3,此时0x5x4, x60,∴q=x4-x63(舍去);当m3时,x3=0(舍去),x4=3(舍去),此时x53,x60,∴q=x5-x63(舍去);综上所述:m的取值范围为:1m3或m < -,【分析】(1)根据题目定义即可得出函数y=x-1没有不变值;再分别求出函数、函数的不变值,从而求出其不变长度.(2)① 由已知条件得方程2x2-bx=x有两个相等的实数根,即根的判别式△=(b+1)2=0,从而求出 b=-1;②由题意得2x2-bx=x,求出方程的根,再根据1≤b≤3,即可求出函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围.(3)依题可得:函数G的图像关于x=m对称,分情况讨论写出函数G的解析式,根据定义和一元二次方程求出值,再分情况讨论即可得出答案.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y= (m≠0)交于点A(2,﹣3)和点B(n,2).(1)求直线与双曲线的表达式;(2)对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点.动点P是双曲线y= (m≠0)上的整点,过点P作垂直于x轴的直线,交直线AB于点Q,当点P位于点Q下方时,请直接写出整点P的坐标.【答案】(1)解:∵双曲线y= (m≠0)经过点A(2,﹣3),∴m=﹣6.∴双曲线的表达式为y=﹣.∵点B(n,2)在双曲线y=﹣上,∴点B的坐标为(﹣3,2).∵直线y=kx+b经过点A(2,﹣3)和点B(﹣3,2),∴解得,∴直线的表达式为y=﹣x﹣1(2)解:符合条件的点P的坐标是(1,﹣6)或(6,﹣1).【解析】【分析】(1)把A的坐标代入可求出m,即可求出反比例函数解析式,把B点的坐标代入反比例函数解析式,即可求出n,把A,B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式;(2)根据图象和函数解析式得出即可.8.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点B、C在第一象限,且四边形OABC是平行四边形,OC=2 ,sin∠AOC= ,反比例函数y= 的图象经过点C以及边AB的中点D.(1)求这个反比例函数的解析式;(2)四边形OABC的面积.【答案】(1)解:过C作CM⊥x轴于M,则∠CMO=90°,∵OC=2 ,sin∠AOC= = ,∴MC=4,由勾股定理得:OM= =2,∴C的坐标为(2,4),代入y= 得:k=8,所以这个反比例函数的解析式是y=(2)解:过B作BE⊥x轴于E,则BE=CM=4,AE=OM=2,过D作DN⊥x轴于N,∵D为AB的中点,∴DN= =2,AN= =1,把y=2代入y= 得:x=4,即ON=4,∴OA=4﹣1=3,∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12【解析】【分析】(1)过C作CM⊥x轴于M,则∠CMO=90°,解直角三角形求出CM,根据勾股定理求出OM,求出C的坐标,即可求出答案;(2)根据D为中点求出DN的值,代入反比例函数解析式求出ON,求出OA,根据平行四边形的面积公式求出即可.9.已知二次函数的图象经过三点(1,0),(-3,0),(0,).(1)求该二次函数的解析式;(2)若反比例函数图像与二次函数的图像在第一象限内交于点 , 落在两个相邻的正整数之间,请写出这两个相邻的正整数;(3)若反比例函数的图像与二次函数的图像在第一象限内的交点为A,点A的横坐标为满足,试求实数的取值范围。

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