5/61
第n阶振型和频率应满足的控制方程(特征方程)为： ( x)] n 2 m( x)n ( x) , n 1, 2, 3 [ EI ( x)n
上式的两边同乘任一l 阶振型l(x)后，沿梁长从0到L积分

L
0
l ( x )[ EI ( x )n( x )]dx n 2 m( x )l ( x )n ( x ) dx
0
L
对等式左边项进行两次分部积分得

L
0
l ( x)[ EI ( x)n( x)]dx
L 0
L L ( x)] |0 ( x)] |0 ( x)dx l( x)[ EI ( x)n EI ( x)l( x)n ＝l ( x)[ EI ( x)n
对于简支、固支和自由边界条件，相应振型的边界条件为：
6.3 振型的正交性
m(x) (x) (x)dx 0
0 l n
L
l n l n
l n
EI(x)(x)(x)dx m(x) (x) (x)dx
0 l n l 0 l n
L
2 L
—（2） —（1）
EI( x)( x)( x)dx m( x) ( x) ( x)dx
Mn
3、计算振型反应
nx n ( x) sin L
n (t ) K n qn (t ) pn (t ) p0n ( ) M nq
振型坐标 qn(t) 是一个单自由度体系在突加外力p0n() 作 用下的反应，由单自由度中给出的解法可以容易求解。 设初始条件为零，则方程的解为：
无阻尼强迫振动的振型叠加法
当求得各振型坐标qn(t)后，可得n阶振型反应
6.4 梁的动力反应分析
有尼强迫振动的振型叠加法
如果是经典阻尼，把振型运动方程改写为有阻尼的形式
u n ( x, t ) n ( x)q n (t )
un(x,t) 称为 n 阶 振型反应 ，是 n 阶振型 n(x) 对总反应 u(x,t) 的贡献。 总的位移反应u(x,t)可以通过叠加所有的振型反应求得：
其中：
M n m( x )[n ( x )]2 dx ————振型质量
0 L L
m( x)n ( x)l ( x)dx ql (t ) n ( x)[ EI ( x)l( x)]dx n ( x) p( x, t )dx
L L l 0 0

( x )]dx ——振型刚度 K n n ( x )[ EI ( x )n
2 n m( x )n ( x ) [ EI ( x)n( x)]
无阻尼强迫振动的振型叠加法
n (t ) K n qn (t ) pn (t ), n 1, 2, 3, M nq
上式与单自由度的运动方程完全一样，给出了求 n 阶 振型坐标 qn(t) 的运动方程。通过振型展开，把求解以 u(x,t)作为未知量的偏微分运动方程，化为以振型坐标 qn(t)为未知量的一系列常微分方程。 这样在动力荷载p(x,t)作用下梁的动力反应u(x,t)可以通 过求解关于振型坐标qn(t)的运动方程来确定。 与单自由度和 多自由度体系 的公式形式完 全相同。
u ( x, t )
n (t ) C n q n (t ) K n q n (t ) p n (t ) M nq
振型阻尼系数Cn用振型阻尼比n表示
u
n 1

n ( x, t )


n 1

n ( x ) q n (t )
C n 2 n n M n
则有阻尼振型运动方程为
简 支 ： ( x) 0 ,
( x ) 0
( x 0, x L ) ( x 0, x L ) ( x 0, x L )
固 支 ： ( x ) 0 , ( x ) 0 自 由 ： ( x ) 0 , [ EI ( x ) ( x )] 0
梁的位移：
u ( x, t ) n ( x)qn (t )
n 1
nx 2 p0 L3 n ( ) (1 cos n t ) n ( x ) sin L 4 EI n 4
5、荷载作用点 = L /2时梁的动力反应
n ( ) n ( ) sin
L 2 0, n 1, 2 1, n 2, 4, 6, n 1, 5, 9, n 3, 7, 11,
在梁中任意位置处，截面的弯矩和剪力可以通过以下两 式求得：
( x ) qn (t ) M ( x, t ) EI ( x )n
n 1
n (t ) 2 n n q n (t ) n 2 q n (t ) q
( x ) qn (t ) V ( x, t ) EI ( x )n
] p ( x, t )
将用振型展开的位移u(x,t)代入梁的偏微分运动方程可得：
l (t ) [ EI ( x )l( x )]ql (t ) p( x, t ) m( x )l ( x)q
9/61 10/61
无阻尼强迫振动的振型叠加法
(t ) [ EI ( x) ( x)]q (t ) p( x, t ) m( x) ( x)q
振型的正交条件：

L
0
m( x)l ( x)n ( x)dx 0
l n

L
0
(x)dx 0 EI(x)l(x)n
l n
7/61
对任意两阶自振频率不相等的振型，在积分的意义 下关于分布质量m(x)和抗弯刚度EI(x)都是正交的。
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2
6.4 梁的动力反应分析
6.4 梁的动力反应分析
n 1
p n (t ) Mn
以上给出无阻尼强迫振动时的振型叠加法计算公式
15/61
这是标准的有阻尼单自由度体系运动方程。 求得qn(t)后，同样可以求u(x,t)、M(x,t)和V(x,t)等。 16/61
4
6.4 梁的动力反应分析
6.4 梁的动力反应分析 —算例1
算例1
如图所示一均匀简支梁，在距端点处作用一随时间 阶梯变化的集中荷载p(t)，试推导简支梁动力反应的 位移和弯矩表达式，并给出外荷载作用于梁中部时 的结果。
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4/61
1
6.3 振型的正交性
振型正交性的证明
与多自由度体系相同，分布参数体系的振型也可 以作为坐标变化的基底，以采用振型叠加法进行 体系的动力反应分析，其原因同样是由于分布参 数体系振型的正交性。 本节介绍分布质量和刚度体系自振振型的正交性。 为简便起见，仅考虑单个梁带有简支边界条件、 固支边界条件或自由边界条件。 不考虑梁中或梁端有集中质量以及支承弹簧情 况，对于这些更复杂的情况也可以采用同样的方 法加以分析。
无阻尼强迫振动的振型叠加法
采用振型叠加法求梁的动力反应问题，先将梁的位移 u(x,t)用振型展开：
l
u ( x, t )
( x)q (t )
l l
在给定外荷载p(x,t)作用下，梁的无阻尼振动方程为：
m( x )
l
2u t 2

2 x 2
[ EI ( x)
l
2u x 2
0
L
当梁的边界为铰支、固支或自由，则振型刚度为：
n (t ) K n qn (t ) pn (t ), n 1, 2, 3, M nq
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( x )]2 dx K n EI ( x )[n
0
12/61
L
3
无阻尼强迫振动的振型叠加法
振型质量Mn和振型刚度Kn之间的关系 振型和频率满足的控制方程为：
pn (t ) p0 ( x )n ( x )dx p0n ( )
0
L
由此得到n阶振型坐标的运动方程：
n (t ) K n qn (t ) pn (t ) p0n ( ) M nq
19/61
20/61
5
6.4 梁的动力反应分析 —算例1
6.4 梁的动力反应分析 —算例1
0
L L 0 0
n (t ) m( x)[n ( x)] dx qn (t ) n ( x)[ EI ( x)n( x)]dx n ( x) p( x, t )dx q
2 0
L
n 1, 2, 3,
pn (t ) n ( x ) p( x, t )dx ———振型外荷载
得到：

L
0
L ( x ) dx n 2 m( x )l ( x )n ( x )dx —(1) EI ( x )l( x )n 0
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振型正交性的证明
将n阶振型n(x)乘以第l 阶振型和频率的控制方程 2 [ EI ( x )l( x )] l m ( x )l ( x ) , l 1, 2, 3 并沿梁长从0到L积分后得到：
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乘以振型n(x)再沿梁长积分可以得到以下关系：
2 n Kn M n
M n m( x)[n ( x)]2 dx 0 L K n n ( x)[ EI ( x)n ( x)]dx
0
L
各个振型运动方程是彼此独立的，可以像单自由度体 系一样求解，可以根据振型荷载的类型，采用相应的 方法，例 如动力放大系数方法、 Duhamel 积分法、 Fourier变换法或时域逐步积分法求解。 14/61
0 l n n 0 l n
L
2 L

L
0
L
( x)dx 0 EI( x)l( x)n
式（1）减去式（2）得到：
2 (n l2 ) m( x )l ( x )n ( x )dx 0 0 L