当梁的边界为铰支、固支或自由，则振型刚度为：
Kn
L 0
EI
(
x)[n(
x)]2
dx
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3
无阻尼强迫振动的振型叠加法 振型质量Mn和振型刚度Kn之间的关系 振型和频率满足的控制方程为：
n2m(x)n (x) [EI (x)n(x)]
乘以振型n(x)再沿梁长积分可以得到以下关系：
n2 Kn M n
x)[
EI
(
x)n(
x)]dx
L 0
n
(
x)
p(
x,
t
)dx
n 1, 2, 3,
M nqn (t) Knqn (t) pn (t), n 1, 2, 3,
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6.4 梁的动力反应分析
无阻尼强迫振动的振型叠加法
采用振型叠加法求梁的动力反应问题，先将梁的位移 u(x,t)用振型展开：
u(x, t) l (x)ql (t) l
不考虑梁中或梁端有集中质量以及支承弹簧情 况，对于这些更复杂的情况也可以采用同样的方 法加以分析。
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振型正交性的证明
将n阶振型n(x)乘以第l 阶振型和频率的控制方程 [EI ( x)l( x)] l2m(x)l ( x) , l 1, 2, 3
并沿梁长从0到L积分后得到：
0LEI(x)l(x)n(x)dxl2 0Lm(x)l (x)n(x)dx —（2）
的贡献。
总的位移反应u(x,t)可以通过叠加所有的振型反应求得：
u(x, t) un (x, t) n (x)qn (t)
n1
n1
在梁中任意位置处，截面的弯矩和剪力可以通过以下两
式求得：
M (x,t) EI (x)n(x)qn (t) n 1
V
(
x,
t
)
EI
(
x)n(
x)
qn
(t
)
n 1
(x 0, x L)
自 由 ： ( x) 0 , [ EI ( x) ( x)] 0 ( x 0, x L)
得到：
L 0
EI
(
x)l(
x)n(
x)dx
n2
L 0
m(
x
)l
(
x
)n
(
x)dx
—(1)
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6.3 振型的正交性
L
0
m(x)l
(x)n
(x)dx
0
l n
L
0
EI(x)l(x)n(x)dx
L 0
l
(
x)[
EI
(
x)n(
x)]dx
＝l (x)[EI (x)n(x)] |0L
l(x)[EI (x)n(x)] |0L
L 0
EI
(
x)l(
x)n(
x)dx
对于简支、固支和自由边界条件，相应振型的边界条件为：
简 支 ： ( x) 0 , ( x) 0
(x 0, x L)
固 支 ： ( x) 0 , ( x) 0
结构动力学
教师：刘晶波 助教：宝鑫
清华大学土木工程系 2016年秋
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本次课主要内容：
振型的正交性 梁的动力反应分析 简支梁在移动荷载作用下的振动 均直梁轴向振动分析 分布参数结构振动分析(动力直接刚度法) 剪切梁振动分析
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结构动力学
第6章 分布参数体系
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6.3 振型的正交性
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1
6.3 振型的正交性
与多自由度体系相同，分布参数体系的振型也可 以作为坐标变化的基底，以采用振型叠加法进行 体系的动力反应分析，其原因同样是由于分布参 数体系振型的正交性。
本节介绍分布质量和刚度体系自振振型的正交性。
为简便起见，仅考虑单个梁带有简支边界条件、 固支边界条件或自由边界条件。
在给定外荷载p(x,t)作用下，梁的无阻尼振动方程为：
2u m(x)
2
[EI (x) 2u ]
p( x, t )
t 2 x 2
x 2
将用振型展开的位移u(x,t)代入梁的偏微分运动方程可得：
m(x)l (x)ql (t) [EI (x)l(x)]ql (t) p(x,t)
l
l
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无阻尼强迫振动的振型叠加法
n阶振型坐标qn(t)的运动方程为
M nqn (t) Knqn (t) pn (t), n 1, 2, 3,
其中：
M n
L 0
m(
x)[n
(
x)]2
dx
————振型质量
Kn
L 0
n
(
x)[
EI
(
x)n(
x
)]dx
——振型刚度
pn (t)
L 0
n
(
x
)
p(
x,
t
)dx
———振型外荷载
M n
L 0
m(
x)[n
(
x)]2
dx
Kn
L 0
n
(
x)[
EI
(
x)n
(
x)]dx
与单自由度和 多自由度体系 的公式形式完 全相同。
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无阻尼强迫振动的振型叠加法
当求得各振型坐标qn(t)后，可得n阶振型反应
un (x, t) n (x)qn (t) un(x,t)称为n阶振型反应，是n阶振型n(x)对总反应u(x,t)
l
l
将上式以振型坐标ql表示的运动方程两边同时乘以n阶振 型n(x)，然后沿整个梁长积分：
ql (t)
L 0
m(
x)n
(
x)l
(
x)dx
ql (t)
L 0
n
(
x)[
EI
(
x)l(
x)]dx
L
0n
(
x)
p(
x,
t
)dx
l
l
qn (t)
L 0
m(
x)[n
(
x)]2dxqnFra bibliotek(t)
L 0
n
(
0
l n
0Ll (x)[EI(x)n(x)]dx0 l n
振型的正交条件：
对任意两阶自振频率不相等的振型，在积分的意义 下关于分布质量m(x)和抗弯刚度EI(x)都是正交的。
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2
6.4 梁的动力反应分析
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无阻尼强迫振动的振型叠加法
m(x)l (x)ql (t) [EI (x)l (x)]ql (t) p(x, t)
0LEI(x)l(x)n(x)dx n2 0Lm(x)l (x)n(x)dx —（1）
式（1）减去式（2）得到：
(n2
l2 )
L 0
m(
x
)l
(
x)n
(
x)dx
0
如果：n≠l（n≠l），则：
L
0
m(x)l
(x)n
(x)dx
0
l n
L 0
EI(x)l(x)n(x)dx
0
l n
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振型正交性的证明
第n阶振型和频率应满足的控制方程(特征方程)为：
[EI (x)n(x)] n2m(x)n (x) , n 1, 2, 3
上式的两边同乘任一l 阶振型l(x)后，沿梁长从0到L积分
L 0l
(
x)[EI
( x)n( x)]dx
n2
L 0
m(
x)l
(
x)n
(
x)dx
对等式左边项进行两次分部积分得
以上给出无阻尼强迫振动时的振型叠加法计算公式 15/61
无阻尼强迫振动的振型叠加法
M nqn (t) Knqn (t) pn (t), n 1, 2, 3,
上式与单自由度的运动方程完全一样，给出了求n阶 振型坐标qn(t)的运动方程。通过振型展开，把求解以 u(x,t)作为未知量的偏微分运动方程，化为以振型坐标 qn(t)为未知量的一系列常微分方程。