圆切线的证明及有关计算（一）
一、课标要求
了解切线的概念：探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线。
会过圆上一点画圆的切线。
二、教学目标
1．归纳直线与圆相切的性质和判定方法以及切线长定理，并能运用这些知识进行计算和证明；2．在计算与证明中培养学生的分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力。
三、教学重点
运用切线的性质和判定方法进行计算与证明。
四、教学难点
灵活运用所学知识解决有关切线问题。
五、【基础知识回顾】
（一）.切线的定义：
（二）.切线性质：
圆的切线______于过切点的半径.
提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常连接圆心和切点，即可得垂直关系
（三）.切线判定：
(1) 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线.（定义）
(2) 经过半径的外端且______这条半径的直线是圆的切线.（判定定理）
(3) 如果圆心到一条直线的距离等于______，那么这条直线是圆的切线.
提醒：1、在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明（连半径，证垂直）.
2、当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切（作垂直，证半径）. （四）.切线长
（1）切线长定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的，叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线两条切线的夹角
六．【典型例题解析】
考点一：与切线性质有关的计算
例1、（九上P122 1(4)）如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，且
∠P=70°，则∠C=_______.
分析：连接OA、OB，则OA⊥PA，OB⊥PB, 易得四边形
APBO的内角∠AOB的度数，从而可得∠C。
（变式）如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，点C在⊙O上，
且∠ACB=50°，则∠P=_______.
例2、如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC
的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分
别为D，E，则⊙O的半径为（）
A．8B．6 C．5 D．4
分析：连接OD、OE，则OD⊥BA，OE⊥AC,根据切线长定理
得AD=AE，易得正方形ADOE;若设OD=x，根据勾股定理可得OD2+BD2=BO2从而得到方程，通过解方程既得⊙O的半径。
【备考指导】解决与切线有关的求角度或线段问题的方法：当已知切线时，常作辅助线连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构造直角三角形，然后利用勾股定理或相关的三角函数知识计算线段长度；而在求角度时，往往与圆周角、圆心角有关，求解过程中有时需要作出合适的辅助线，构造与所求角有关的圆心角或直角三角形进行求解。
考点二：与切线判定有关的证明
例3.已知：如图, AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, 且DE⊥AC于点E.
(1)求证: DE是⊙O的切线；
(2) 若∠C＝30°,CD＝10 cm, 求⊙O的直径．
分析：(1)若所证直线与圆的交点字母标出,则连接这条半径,证明这
条半径________所证直线；
(2)利用等腰三角形和直角三角形知识可求．
【备考指导】证明直线是圆的切线的方法：①可以利用定义判定，
与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②若已知直线与圆有公
共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直；③若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径.可简述为：无切点、作垂直、证相等.
七、中考链接
（一）基础达标训练
1．（13.河池）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，
则PA=．
2. (14.湘潭)如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，Ｃ为⊙Ｏ外一点，过Ｃ作⊙Ｏ的切线，切点为Ｂ， 连接ＡＣ交⊙Ｏ于Ｄ，∠Ｃ＝３８°，点Ｅ在ＡＢ右侧的半圆上运动（不与Ａ、Ｂ重合）， 则∠ＡＥＤ的大小是（ ）
Ａ．１９° Ｂ．３８° Ｃ．５２° Ｄ．７６°
第1题 第2题 第3题
3.（12.玉林）如图，Ｒｔ△ＡＢＣ的内切圆⊙Ｏ与两直角边ＡＢ，ＢＣ分别相切于点Ｄ，Ｅ，过劣弧ＤＥ（不包括端点Ｄ，Ｅ）上任一点Ｐ作⊙Ｏ的切线ＭＮ与ＡＢ、ＢＣ分别交于点Ｍ、Ｎ，若⊙Ｏ的半径为ｒ，则Ｒｔ△ＭＢＮ的周长为 （ ）
4.（14.玉林）如图，直线ＭＮ与⊙Ｏ相切于点Ｍ，ＭＥ＝ＥＦ 且ＥＦ∥ＭＮ，则ｃｏｓＥ＝ ．
5.（12.玉林改编）如图，以△ＡＢＣ的ＢＣ边上一点Ｏ为圆心的圆，经过Ａ、Ｂ两点，且与ＢＣ边交于点Ｅ，Ｄ为ＢＥ的下半圆弧的中点，连接ＡＤ交ＢＣ于Ｆ，若ＡＣ＝ＦＣ．
求证：ＡＣ是⊙Ｏ的切线；
（二）能力提升
1.（14.无锡）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为
D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，∠A=30°，给出下面3个结论：
①AD=CD ；②BD=BC ；③AB=2BC ，其中正确结论的个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
r A 2
5 D. 2r . C r 23 B.r
.
2.（14.内江）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，
以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC
相切于点D、E，则AD为（）
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
3.（1
4.贺州九下P102第11题变式）如图，ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ分别与⊙Ｏ相切于Ｅ，Ｆ，Ｇ，且ＡＢ∥ＣＤ，ＢＯ＝６ｃｍ，ＣＯ＝８ｃｍ．
（１）求证：ＢＯ⊥ＣＯ；（２）求ＢＥ和ＣＧ的长．
4.（13.南宁）如图，在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE ⊥AC于点E，BE交⊙O于点F。
（1）求证：DE是O的切线。
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长。
5.（14.南宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切与点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB 的延长线交于点D，则CD 的长为.。