多元回归：
TSS y ' y nY 2
ˆ ESS ' X ' y nY 2 ˆ ˆ ˆ RSS u ' u y ' y ' X ' y
ˆ ( ' X ' y nY 2 ) /(k 1) F ˆ ( y ' y ' X ' y) /(n k )

回归方程：yt = 1 + 2x2t + 3x3t + 4x4t + ut 我们希望检验： 3+4 = 1： 约束回归 • yt = 1 + 2x2t + 3x3t + 4x4t + ut • s.t. 3+4 = 1

3+4 = 1 4 = 1- 3 yt = 1 + 2x2t + 3x3t + (1-3)x4t + ut 整理，得 (yt - x4t) = 1 + 2x2t + 3(x3t - x4t) + ut
( RUR RR ) / m F 2 (1 RUR ) /(n k )
16
在F-检验中确定约束个数

例 : H0: hypothesis 1 + 2 = 2 2 = 1 and 3 = -1 2 = 0, 3 = 0 and 4 = 0
约束个数m 1 2 3
不能用F-检验来检验非线性的假设， 如：H0: 2 3 = 2 or H0: 2 2 = 1
计量经济学
主讲人：薛明皋
2013年7月19日
1
第8章 多元回归分析:推断问题
§8-1 偏回归系数的假设检验 §8-2 总显著性检验 §8-3 回归系数相等的检验 §8-4 约束回归 §8-5 结构稳定性检验:邹至庄检验
§8-6 预测
2
§8-1 偏回归系数的假设检验：t 检验
Yi 1 2 X i 2 K X iK ui
( R新 2 R老 2 ) 自由度 F (1 R新 2 ) 自由度 ( R新 2 R老 2 ) 新回归元个数 (1 R新 2 ) 自由度( n 新模型中的参数个数)
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其它判据：


F检验可以决定是否在回归方程中增加一个变量。 调整的R2也可以作为选择的标准，目的是使得调 整的R2最大化。 何时引入一个新变量
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Wald Test: Equation: Untitled Test Statistic F-statistic Chi-square Value 3.779440 3.779440 df (1, 17) 1 Probability 0.0686 0.0519

2、增加变量FLR：
8

从r2－>R2，模型的拟合能力增强了。 如何度量这种增量贡献：

问题： FLR的增量贡献在统计上显著吗？
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1、增量的贡献计算：
( ESS新 ESS老 ) 新回归元个数 RSS新 自由度( n 新模型中的参数个数)
Q2 自由度 F Q4 自由度

2、F比的另一计算式：

(i 1, 2,, n)

检验假设步骤: 1.假设： H0：i=0； H1：i0 （i=1,2…k） 2.给出检验统计量： ˆ 2 t t (n k ) ˆ se( 2 ) 3.给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k)，由 样本求出统计量t的数值，通过 |t| t/2(n-k) 或 |t|t/2(n-k) 来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变 3 量是否应包括在模型中。
ˆ ˆ 由 ~ N ( , 2 ( X ) 1 )知 i ~ N ( i , 2 ( X ) ii1 ) X X ˆ i i ~ N (0,1) 1 ( X X )ii ˆ 但是 未知，所以用其估计量 代替，此时有 ˆ ˆ ) i i t ( i ~ t (n k ) 1 ˆ ( X X )ii 检验统计量 H 0 : i 0 ˆ t ( i ) ˆ i 0 ˆ ( X X )
令 Pt = yt - x4t ， Qt = x3t - x4t Pt = 1 + 2x2t + 3Qt + ut 就是要估计的约束回归14



在同一样本下，记无约束样本回归模型为： Y X u 受约束样本回归模型为： Y X u r r 于是： ur Y X r X u X r X ( r ) u 受约束样本回归模型的残差平方和RSSR ur ' ur u ' u (r )' X ' X (r ) u ' u u’u为无约束样本回归模型的残差平方和RSSUR 受约束与无约束模型都有相同的TSS 这意味着，通常情况下，对模型施加约束条件会 降低模型的解释能力。但是，如果约束条件为真， 则受约束回归模型与无约束回归模型具有相同的 15 解释能力，RSSR 与 RSSUR的差异将会很小。

H1 : 3 4 或 (3 4 0)

3.构造统计量
ˆ ˆ ( 3 4 ) ( 3 4 ) t ˆ ˆ se( )
3 4

可证明t服从自由度为(n-4)的t分布，其中
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ se( 3 4 ) var( 3 ) var( 4 ) 2cov( 3 , 4 )
1 ii

ˆ i ˆ ( X X )
1 ii
~ t (n k )
4
§8-2 总显著性检验：F检验
方差分析

方差分析回顾：
Yi i2 ui2 ˆ ˆ 22 xi2 ui2
TSS ESS RSS
F与R2同向变化：R2越大,F值也越大。 当R2＝0时,F＝0;当R2=1时,F为无穷大； 因此，F检验是回归方程总的显著性的一个度量， 也是R2的一个显著性度量。
检验H0：2= =k=0等价于检验R2=0
7
引进变量是否显著增加ESS


儿童的死亡率（CM）可能同人均GNP（PGNP） 和妇女识字率（FLR）有关。 1、仅对PGNP回归
F ( n k ) ESS n k ESS ( k 1) RSS k 1 TSS ESS nk ESS TSS n k R2 k 1 1 ( ESS TSS ) k 1 1 R 2 R 2 ( k 1) (1 R 2 ) /( n k )
构造 F-检验统计量


可用RSSR - RSSUR的大小来检验约束的真实性 ( RSS R RSSUR ) / m 统计量 F
ˆ ˆ ( uR 2 uUR 2 ) / m uUR 2 /(n k ) ˆ RSSUR /(n k )
m =约束数目，n = 观测数 k =非约束回归中的解释变量数目（含常数项）． 上式还可表示为： 2 2
若引入的新变量的系数的t值在绝对值上大于1，调整
的R2就会增加。 或者，当引入新变量的F值大于1时，才会使调整的R2 增加。

何时加入一组变量
当引入的一组新变量的F值大于1时，才会使调整的R2
增加。
11
§8-3 回归系数相等的检验 1.回归模型： Yi 1 2 X 2i 3 X 3i 4 X 4i ui 或 ( 3 4 ) 0 2.检验假设： H 0 : 3 4

2 3 i
( 2 3 ) ( 2 3 ) t t (n k ) ˆ ) ˆ se( 2 3 ˆ ˆ ( 2 3 ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ var( 2 ) var( 3 ) 2cov( 2 , 3 )
13
2、F-检验:非约束回归和约束回归

任何一个可以用t-检验的假设都可以用F-检 验来检验, 反之，则不行。 17 因为t-分布是F-分布的一个特例。

例：柯布-道格拉斯生产函数

用F-检验考参是否存在规模报酬不变效应。 数据见表8.8
18



Dependent Variable: LOG(GDP) Method: Least Squares Date: 12/05/06 Time: 21:18 Sample: 1955 1974 Included observations: 20 LOG(GDP)=C(1)+C(2)*LOG(EMPLOYMENT)+C(3)*LOG(CAPITAL) Coefficient C(1) -1.652419 C(2) 0.339732 C(3) 0.845997 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Std. Error 0.606198 0.185692 0.093352 0.995080 0.994501 0.028289 0.013604 44.55221 t-Statistic -2.725873 1.829548 9.062488 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Durbin-Watson stat Prob. 0.0144 0.0849 0.0000 12.22605 0.381497 -4.155221 -4.005861 0.425667

一般的F检验方法

1.回归模型： Yi 1 2 X 2i k X ki ui 2.检验假设： H0假设可根据实际情况确定。 如：H0: β2 = β3 H0 : β3 + β4 + β5 = 3 H0 : β3 = β4 = β5 = β6 = 0 3.决策规则： 若计算的F超过Fα(m, n− k)，则拒绝原假设； 否则就接受它。