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高中人教A版数学必修1单元测试:第二章 基本初等函数(Ⅰ)(二)AB卷 Word版含解析

高中同步创优单元测评A 卷 数 学班级:________ 姓名:________ 得分:________第二章 基本初等函数(Ⅰ)(二) (对数与对数函数、幂函数)名师原创·基础卷](时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f (x )=lg(x -1)的定义域是( )A .(2,+∞)B .(1,+∞)C .1,+∞)D .2,+∞) 2.下列函数中,既是奇函数,又在定义域内为减函数的是( )A .y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB .y =1x C .y =-x 3D .y =log 3(-x )3.设y 1=40.9,y 2=log 124.3,y 3=⎝ ⎛⎭⎪⎫131.5,则( )A .y 3>y 1>y 2B .y 2>y 1>y 3C .y 1>y 2>y 3D .y 1>y 3>y 24.函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的反函数的图象为( )5.已知f (x n )=ln x ,则f (2)的值为( )A .ln 2 B.1n ln 2 C.12ln 2 D .2ln 26.幂函数y =(m 2-m -1)x m 2-2m -3,当x ∈(0,+∞)时为减函数,则实数m 的值为( )A .m =2B .m =-1C .m =-1或2D .m ≠1±527.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧21-x ,x ≤1,1-log 2x ,x >1,则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A .-1,2]B .0,2]C .1,+∞)D .0,+∞)8.若0<a <1,在区间(-1,0)上函数f (x )=log a (x +1)是( ) A .增函数且f (x )>0 B .增函数且f (x )<0 C .减函数且f (x )>0D .减函数且f (x )<09.已知函数f (x )=a x +log a x (a >0,且a ≠1)在1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为( )A.12B.14 C .2 D .410.若偶函数f (x )在(-∞,0)内单调递减,则不等式f (-1)<f (lg x )的解集是( )A .(0,10)B.⎝⎛⎭⎪⎫110,10 C.⎝⎛⎭⎪⎫110,+∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫0,110∪(10,+∞)11.已知f (x )=a x (a >0,且a ≠1),g (x )=log a x (a >0,且a ≠1),若f (3)g (3)<0,则f (x )与g (x )在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )12.设f (x )是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在0,+∞)上单调递增,若,c =f (-2),则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a >b >cB .b >c >aC .c >a >bD .c >b >a第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13.若函数y =f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,则函数y =f (log 2x )的定义域为________.14.给出函数f (x )=⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,x ≥4,f (x +1),x <4,则f (log 23)=________.15.已知函数y =log a (x +b )的图象如图所示,则a =________,b =________.16.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)计算下列各题:18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-2x 12 .(1)求f(x)的定义域;(2)证明:f(x)在定义域内是减函数.19.(本小题满分12分)已知-3≤log 0.5x ≤-32,求函数f (x )=log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值.20.(本小题满分12分)设f (x )=⎩⎨⎧2-x,x ∈(-∞,1],log 3x 3·log 3x9,x ∈(1,+∞). (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232的值;(2)求f (x )的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=log a (1-x )+log a (x +3),其中0<a <1. (1)求函数f (x )的定义域;(2)若函数f (x )的最小值为-4,求a 的值.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=log 4(ax 2+2x +3)(a ∈R ). (1)若f (1)=1,求f (x )的单调区间;(2)是否存在实数a ,使f (x )的最小值为0?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.详解答案第二章 基本初等函数(Ⅰ)(二) (对数与对数函数、幂函数)名师原创·基础卷]1.B 解析:由x -1>0,得x >1. 解题技巧:真数大于零.2.C 解析:y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y =log 3(-x )都为非奇非偶,排除A ,D.y=1x 在(-∞,0)与(0,+∞)上都为减函数,但在定义域内不是减函数,排除B.3.D 解析:因为y 1=40.9>40=1,y 2=log 124.3<log 121=0,0<y 3=⎝ ⎛⎭⎪⎫131.5<⎝ ⎛⎭⎪⎫130=1,所以y 1>y 3>y 2. 4.D 解析:函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数为y =log 12x ,故选D.5.B 解析:令t =x n,则x =t 1n ,f (t )=ln t 1n =1nln t ,则f (2)=1n ln 2,故选B.6.A 解析:由y =(m 2-m -1)xm 2-2m -3为幂函数,得m 2-m -1=1,解得m =2或m =-1.当m =2时,m 2-2m -3=-3,y =x -3在(0,+∞)上为减函数;当m =-1时,m 2-2m -3=0,y =x 0=1(x ≠0)在(0,+∞)上为常数函数(舍去),所以m =2,故选A.7.D 解析:当x ≤1时,由21-x ≤2知,x ≥0,即0≤x ≤1; 当x >1时,由1-log 2x ≤2知x ≥12,即x >1. 综上得x 的取值范围是0,+∞).8.C 解析:当0<a <1时,f (x )=log a (x +1)为减函数,∵x ∈(-1,0),∴x +1∈(0,1),∴log a (x +1)>0.9.C 解析:当a >1时,函数y =a x 和y =log a x 在1,2]上都是增函数,所以f (x )=a x +log a x 在1,2]上是增函数,当0<a <1时,函数y =a x 和y =log a x 在1,2]上都是减函数,所以f (x )=a x +log a x 在1,2]上是减函数,由题意得f (1)+f (2)=a +a 2+log a 2=6+log a 2, 即a +a 2=6,解得a =2或a =-3(舍去).10.D 解析:因为f (x )为偶函数,所以f (x )=f (|x |),因为f (x )在(-∞,0)内单调递减,所以f (x )在(0,+∞)内单调递增,由f (-1)<f (lg x ),得|lg x |>1,即lg x >1或lg x <-1,解得x >10或0<x <110.11.C 解析:∵f (3)=a 3>0,由f (3)·g (3)<0得g (3)<0, ∴0<a <1,∴f (x )与g (x )均为单调递减函数,故选C.13.2,4] 解析:由题意知,12≤log 2x ≤2,即log 22≤log 2x ≤log 24, ∴2≤x ≤4.14.124 解析:∵log 23<4,∴f (log 23)=f (log 23+1)=f (log 23+3)=f (log 224),∵log 224>4,∴f (log 224)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224=124.15.3 3 解析:由图象过点(-2,0),(0,2),知⎩⎪⎨⎪⎧ log a (-2+b )=0,log a b =2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ -2+b =1,b =a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b =3,a 2=3.由a >0,知a = 3.∴a =3,b =3.16.(-1,0)∪(1,+∞) 解析:根据题意画出f (x )的草图,由图象可知,f (x )>0的x 的取值范围是-1<x <0或x >1.解题技巧:数形结合确定取值范围.19.解:∵f (x )=log 2x 2·log 2x4 =(log 2x -1)(log 2x -2) =(log 2x )2-3log 2x +2 =⎝⎛⎭⎪⎫log 2x -322-14,又∵ -3≤log 0.5x ≤-32, ∴ -3≤log 12 x ≤-32.∴ 32≤log 2x ≤3.∴当log 2x =32,即x =22时,f (x )有最小值-14; 当log 2x =3,即x =8时,f (x )有最大值2. 20.解:(1)因为log 232<log 22=1,(2)当x ∈(-∞,1]时,f (x )=2-x=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(-∞,1]上是减函数,所以f (x )的最小值为f (1)=12.当x ∈(1,+∞)时,f (x )=(log 3x -1)(log 3x -2), 令t =log 3x ,则t ∈(0,+∞),f (x )=g (t )=(t -1)(t -2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫t -322-14,所以f (x )的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=-14. 综上知,f (x )的最小值为-14.21.解:(1)要使函数有意义,则有⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0,x +3>0,解之得-3<x <1,所以函数的定义域为(-3,1). (2)函数可化为f (x )=log a (1-x )(x +3)] =log a (-x 2-2x +3) =log a -(x +1)2+4],∵-3<x <1,∴0<-(x +1)2+4≤4. ∵0<a <1,∴log a -(x +1)2+4]≥log a 4, 即f (x )min =log a 4.由log a 4=-4,得a -4=4,∴a =4-14=22.22.解:(1)∵f (1)=1,∴log 4(a +5)=1,因此a +5=4,a =-1, 这时f (x )=log 4(-x 2+2x +3).由-x 2+2x +3>0,得-1<x <3,函数定义域为(-1,3). ∴f (x )的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3). (2)假设存在实数a ,使f (x )的最小值为0,则h (x )=ax 2+2x +3应有最小值1,因此应有⎩⎨⎧a >0,12a -44a =1,解得a =12.故存在实数a =12,使f (x )的最小值为0.解题技巧:存在性问题的求解办法:先假设符合题意的实数存在,从这个假设出发,利用已知条件看看能不能求出这个实数.高中同步创优单元测评B 卷 数 学班级:________ 姓名:________ 得分:________第二章 基本初等函数(Ⅰ)(二) (对数与对数函数、幂函数)名校好题·能力卷](时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y =log a (x +2)+1的图象过定点( ) A .(1,2) B .(2,1) C .(-2,1)D .(-1,1)2.若2lg(x -2y )=lg x +lg y (x >0,y >0)则yx 的值为( ) A .4 B .1或14 C .1或4 D.143.下列函数中与函数y =x 相等的函数是( ) A .y =(x )2 B .y =x 2 C .y =2log 2xD .y =log 22x4.函数y =lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21+x -1的图象关于( ) A .原点对称 B .y 轴对称 C .x 轴对称D .直线y =x 对称5.下列关系中正确的是( ) A .log 76<ln 12<log 3π B .log 3π<ln 12<log 76 C .ln 12<log 76<log 3πD .ln 12<log 3π<log 766.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,2x ,x ≤0.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127的值为( )A.18 B .4 C .2 D.147.函数y =ax 2+bx 与y =log ba x (ab ≠0,|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )8.若函数y =(m 2+2m -2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数,则m 的值为( )A .1B .-3C .-1D .39.若函数y =f (x )是函数y =a x (a >0且a ≠1)的反函数,其图象经过点(a ,a ),则f (x )=( )A .log 2xB .log 12x C.12x D .x 210.函数f (x )=log 12(x 2-3x +2)的递减区间为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,32B .(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞ D .(2,+∞)11.函数f (x )=lg(kx 2+4kx +3)的定义域为R ,则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,34 D .(-∞,0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34,+∞12.设a >0且a ≠1,函数f (x )=log a |ax 2-x |在3,4]上是增函数,则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16,14∪(1,+∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18,14∪(1,+∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18,16∪(1,+∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14∪(1,+∞) 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13.计算27-13+lg 0.01-ln e +3log 32=________.14.函数f (x )=lg(x -1)+5-x 的定义域为________.15.已知函数f (x )=log 3(x 2+ax +a +5),f (x )在区间(-∞,1)上是递减函数,则实数a 的取值范围为________.16.已知下列四个命题:①函数f (x )=2x 满足:对任意x 1,x 2∈R且x 1≠x 2都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22<12f (x 1)+f (x 2)];②函数f (x )=log 2(x +1+x 2),g (x )=1+22x -1不都是奇函数;③若函数f (x )满足f (x -1)=-f (x +1),且f (1)=2,则f (7)=-2;④设x 1,x 2是关于x 的方程|log a x |=k (a >0且a ≠1)的两根,则x 1x 2=1.其中正确命题的序号是________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(1)计算lg 25+lg 2×lg 500-12lg 125-log 29×log 32;(2)已知lg 2=a ,lg 3=b ,试用a ,b 表示log 125.18.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=lg(3x -3). (1)求函数f (x )的定义域和值域;(2)设函数h (x )=f (x )-lg(3x +3),若不等式h (x )>t 无解,求实数t 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x-2m 2+m +3(m ∈Z )为偶函数,且f (3)<f (5).(1)求m 的值,并确定f (x )的解析式;(2)若g (x )=log a f (x )-2x ](a >0且a ≠1),求g (x )在(2,3]上的值域.20.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=lg kx -1x -1(k ∈R ).(1)若y =f (x )是奇函数,求k 的值,并求该函数的定义域; (2)若函数y =f (x )在10,+∞)上是增函数,求k 的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=log 31-x1-mx (m ≠1)是奇函数.(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)设g(x)=1-x1-mx,用函数单调性的定义证明:函数y=g(x)在区间(-1,1)上单调递减;(3)解不等式f(t+3)<0.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求实数k的值;(2)设g(x)=log4(a·2x+a),若f(x)=g(x)有且只有一个实数解,求实数a的取值范围.详解答案第二章基本初等函数(Ⅰ)(二)(对数与对数函数、幂函数)名校好题·能力卷]1.D解析:由对数函数恒过定点(1,0)知,函数y=log a(x+2)+1的图象过定点(-1,1).2.B解析:由对数的性质及运算知,2lg(x-2y)=lg x+lg y化简为lg(x -2y )2=lg xy ,即(x -2y )2=xy ,解得x =y 或x =4y .所以yx 的值为1或14.故选B.3.D 解析:函数y =x 的定义域为R .A 中,y =(x )2定义域为0,+∞);B 中,y =x 2=|x |;C 中,y =2log 2x =x ,定义域为(0,+∞);D 中,y =log 22x =x ,定义域为R .所以与函数y =x 相等的函数为y =log 22x .4.A 解析:函数y =lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21+x -1的定义域为(-1,1). 又设f (x )=y =lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21+x -1=lg 1-x 1+x ,所以f (-x )=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+x 1-x =-lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x =-f (x ), 所以函数为奇函数,故关于原点对称.5.C 解析:由对数函数图象和性质,得0<log 76<1,ln 12<0,log 3π>1.所以ln 12<log 76<log 3π.故选C.6.A 解析:∵127>0∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127=log 3127=-3,∵-3<0,f (-3)=2-3=18.故选A.7.D 解析:A 中,由y =ax 2+bx 的图象知,a >0,ba <0,由y =log b ax 知,ba >0,所以A 错; B 中,由y =ax 2+bx 的图象知,a <0,b a <0,由y =log b ax 知,ba >0,所以B 错;C 中,由y =ax 2+bx 的图象知,a <0,-b a <-1,∴ba >1,由y =logb ax 知0<ba <1,所以C 错.故选D.8.A 解析:因为函数y =(m 2+2m -2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2+2m -2=1,m >0,解得m =1.故选A.9.B 解析:因为函数y =f (x )图象经过点(a ,a ),所以函数y =a x(a >0且a ≠1)过点(a ,a ),所以a =a a即a =12,故f (x )=log 12x .10.D 解析:令t =x 2-3x +2,则当t =x 2-3x +2>0时,解得x ∈(-∞,1)∪(2,+∞).且t =x 2-3x +2在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增;又y =log 12t 在其定义域上为单调递减的,所以由复合函数的单调性知,f (x )=log 12(x 2-3x +2)单调递减区间是(2,+∞).11.B 解析:因为函数f (x )=lg(kx 2+4kx +3)的定义域为R ,所以kx 2+4kx +3>0,x ∈R 恒成立.①当k =0时,3>0恒成立,所以k =0适合题意.②⎩⎪⎨⎪⎧k >0,Δ<0,即0<k <34.由①②得0≤k <34.故选B.解题技巧:本题实际上考查了恒成立问题,解决本题的关键是让真数kx 2+4kx +3>0,x ∈R 恒成立.12.A 解析:令u (x )=|ax 2-x |,则y =log a u ,所以u (x )的图象如图所示.当a >1时,由复合函数的单调性可知,区间3,4]落在⎝⎛⎦⎥⎤0,12a 或⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,+∞上,所以4≤12a 或1a <3,故有a >1;当0<a <1时,由复合函数的单调性可知,3,4]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ,1a ,所以12a ≤3且1a >4,解得16≤a <14.综上所述,a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫16,14∪(1,+∞).13.-16 解析:原式=13-2-12+2=-16.14.(1,5] 解析:要使函数f (x )=lg(x -1)+5-x 有意义,只需满足⎩⎪⎨⎪⎧x -1>0,5-x ≥0即可.解得1<x ≤5,所以函数f (x )=lg(x -1)+5-x 的定义域为(1,5].15.-3,-2] 解析:令g (x )=x 2+ax +a +5,g (x )在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-a 2是减函数,x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫-a 2,+∞是增函数.而f (x )=log 3t ,t ∈(0,+∞)是增函数.由复合函数的单调性,得⎩⎨⎧-a 2≥1,g (1)≥0,解得-3≤a ≤-2.解题技巧:本题主要考查了复合函数的单调性,解决本题的关键是在保证真数g (x )>0的条件下,求出g (x )的单调增区间.16.①③④ 解析:①∵指数函数的图象为凹函数,∴①正确; ②函数f (x )=log 2(x +1+x 2)定义域为R ,且f (x )+f (-x )=log 2(x+1+x 2)+log 2(-x +1+x 2)=log 21=0,∴f (x )=-f (-x ),∴f (x )为奇函数.g (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且g (x )=1+22x -1=2x +12x -1,g (-x )=2-x +12-x -1=1+2x1-2x=-g (x ),∴g (x )是奇函数.②错误; ③∵f (x -1)=-f (x +1),∴f (7)=f (6+1)=-f (6-1)=-f (5),f (5)=f (4+1)=-f (4-1)=-f (3),f (3)=-f (1),∴f (7)=-f (1),③正确;④|log a x |=k (a >0且a ≠1)的两根,则log a x 1=-log a x 2,∴log a x 1+log a x 2=0,∴x 1·x 2=1.∴④正确.17.解:(1)原式=lg 25+lg 5·lg 2+2lg 2+lg 5-log 39=lg 5(lg 5+lg 2)+2lg 2+lg 5-2=2(lg 5+lg 2)-2=0.(2)log 125=lg 5lg 12=lg 102lg 3×4=lg 10-lg 2lg 3+lg 4=1-lg 2lg 3+2lg 2, lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=1-lg 2lg 3+2lg 2=1-a b +2a. 18.解:(1)由3x -3>0解得x >1,所以函数f (x )的定义域为(1,+∞).因为(3x -3)∈(0,+∞),所以函数f (x )的值域为R .(2)因为h (x )=lg(3x -3)-lg(3x +3)=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -33x +3 =lg ⎝⎛⎭⎪⎫1-63x +3的定义域为(1,+∞),且在(1,+∞)上是增函数,所以函数的值域为(-∞,0).所以若不等式h (x )>t 无解,则t 的取值范围为0,+∞).19.解:(1)因为f (3)<f (5),所以由幂函数的性质得,-2m 2+m +3>0,解得-1<m <32.因为m ∈Z ,所以m =0或m =1.当m =0时,f (x )=x 3它不是偶函数.当m =1时,f (x )=x 2是偶函数.所以m =1,f (x )=x 2.(2)由(1)知g (x )=log a (x 2-2x ),设t =x 2-2x ,x ∈(2,3],则t ∈(0,3],此时g (x )在(2,3]上的值域就是函数y =log a t 在t ∈(0,3]上的值域. 当a >1时,y =log a t 在区间(0,3]上是增函数,所以y ∈(-∞,log a 3]; 当0<a <1时,y =log a t 在区间(0,3]上是减函数,所以y ∈log a 3,+∞).所以当a >1时,函数g (x )的值域为(-∞,log a 3];当0<a <1时,g (x )的值域为log a 3,+∞).20.解:(1)因为f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ),即lg -kx -1-x -1=-lg kx -1x -1, ∴-kx -1-x -1=x -1kx -1,1-k 2x 2=1-x 2, ∴k 2=1,k =±1,而k =1不合题意舍去,∴k =-1.由-x -1x -1>0,得函数y =f (x )的定义域为(-1,1).(2)∵f (x )在10,+∞)上是增函数,∴10k -110-1>0,∴k >110. 又f (x )=lg kx -1x -1=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k +k -1x -1, 故对任意的x 1,x 2,当10≤x 1<x 2时,恒有f (x 1)<f (x 2),即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k +k -1x 1-1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k +k -1x 2-1, ∴k -1x 1-1<k -1x 2-1,∴(k -1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1-1-1x 2-1<0, 又∵1x 1-1>1x 2-1,∴k -1<0,∴k <1. 综上可知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫110,1. 解题技巧:本题主要考查了对数型函数的性质,解决本题的关键是充分利用好奇偶性和单调性.21.(1)解:由题意得f (-x )+f (x )=0对定义域中的x 都成立,所以log 31+x 1+mx +log 31-x 1-mx =0,即1+x 1+mx ·1-x 1-mx=1, 所以1-x 2=1-m 2x 2对定义域中的x 都成立,所以m 2=1,又m ≠1,所以m =-1,所以f (x )=log 31-x 1+x. (2)证明:由(1)知,g (x )=1-x 1+x, 设x 1,x 2∈(-1,1),且x 1<x 2,则x 1+1>0,x 2+1>0,x 2-x 1>0.因为g (x 1)-g (x 2)=2(x 2-x 1)(1+x 1)(1+x 2)>0,所以g (x 1)>g (x 2), 所以函数y =g (x )在区间(-1,1)上单调递减.(3)解:函数y =f (x )的定义域为(-1,1),设x 1,x 2∈(-1,1),且x 1<x 2,由(2)得g (x 1)>g (x 2),所以log 3g (x 1)>log 3g (x 2),即f (x 1)>f (x 2),所以y =f (x )在区间(-1,1)上单调递减.因为f (t +3)<0=f (0),所以⎩⎪⎨⎪⎧-1<t +3<1,t +3>0, 解得-3<t <-2.故不等式的解集为(-3,-2).22.解:(1)由函数f (x )是偶函数可知f (x )=f (-x ),∴log 4(4x +1)+kx =log 4(4-x +1)-kx ,化简得log 44x +14-x +1=-2kx , 即x =-2kx 对一切x ∈R 恒成立,∴k =-12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点,即方程log 4(4x+1)-12x =log 4(a ·2x +a )有且只有一个实根, 化简得方程2x+12x =a ·2x +a 有且只有一个实根,且a ·2x +a >0成立,则a >0.令t =2x >0,则(a -1)t 2+at -1=0有且只有一个正根. 设g (t )=(a -1)t 2+at -1,注意到g (0)=-1<0,所以①当a =1时,有t =1,符合题意;②当0<a <1时,g (t )图象开口向下,且g (0)=-1<0,则需满足⎩⎨⎧ t 对称轴=-a 2(a -1)>0,Δ=0,此时有a =-2+22或a =-2-22(舍去);③当a >1时,又g (0)=-1,方程恒有一个正根与一个负根,符合题意.综上可知,a的取值范围是{-2+22}∪1,+∞).。

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