【考点训练】基本初等函数I-1一、选择题（共10小题）1．方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）=有唯一不动点，且x1=2，x n+1=（n∈N+），则（x2014﹣1）=（）A ．2014 B．2013 C．1 D．2．（2012?泸州二模）设a，b为正实数，，（a﹣b）2=4（ab）3，则log a b=（）A ．1 B．﹣1 C．±1 D．3．（2014•天津二模）设a＞b＞0，a+b=1且x=（）b，y=log a，z=a，则x，y，z的大小关系是（）A ．y＜x＜z B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．x＜y＜z4．（2010?广州模拟）若2＜x＜3，，Q=log2x，，则P，Q，R的大小关系是（）A ．Q＜P＜R B．Q＜R＜P C．P＜R＜Q D．P＜Q＜R5．设a，b，x∈N*，a≤b，已知关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，当ab取最大可能值时，=（）A ．B．6 C．D．46．函数f（x）的定义域为D，满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[]?D，使得f（x）在[]上的值域为[a，b]，那么就称函数y=f（x）为“优美函数”，若函数f（x）=log c（c x﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则t的取值范围为（）A ．（0，1）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（0，）7．（2012•湖北模拟）已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+]=3”，则方程f（x）=2+的解的个数是（）A ．3 B．2 C．1 D．O8．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象可能是（）A ．B．C．D．9．已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=2log a（2x+t）（a＞1），若x∈[0，1），t∈[4，6）时，F（x）=g（x）﹣f（x）有最小值是4，则a的最小值为（）A ．10 B．2 C．3 D．410．（2013?自贡一模）已知对数函数f（x）=log a x是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）A ．B．C．D．二、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）11．已知函数f（x）=，a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）当a≠b时，利用（1）中的结论，证明不等式：．12．已知函数f（x）=2x +|x|．（1）解不等式：≤f（x）≤；（2）若关于x的方程f（2x）+af（x）+4=0在（0，+∞）上有解，求实数a的取值范围．13．设f（x）=（）x﹣3x，解关于x的不等式f （）+f（x）≤0．14．已知α，β满足等式，试求α+β的值．15．如果函数f（x）=a x（a x﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠0）在区间[0，+∞）单调递增，那么实数a的取值范围是什么16．（2007?浦东新区二模）记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1，g（x）=2x﹣1是否是M的元素；（2）设函数f（x）=log a（1﹣a x），求f（x）的反函数f﹣1（x），并判断f（x）是否是M的元素；（3）若f（x）≠x，写出f（x）∈M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．17．（2010?徐州一模）设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数图象上的两点，且，点P的横坐标为．（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若，求S n；（3）记T n为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．①；②18．（2011?哈尔滨模拟）已知f（x）=ae﹣x+cosx﹣x（0＜x＜1）（1）若对任意的x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：．19．（2009?金山区一模）已知函数f（x）=log a在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）．（1）求出m的值，并求出定义域D；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值．20．（2004?宝山区一模）已知f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线最多只有一个交点；（3）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【考点训练】基本初等函数I-1参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）=有唯一不动点，且x1=2，x n+1=（n∈N+），则（x2014﹣1）=（）A ．2014 B．2013 C．1 D．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=有唯一不动点?有唯一实数根，化为ax2+（2a﹣1）x=0，由于a≠0，可得△=0，解得a=．f（x）=．由于x1=2，x n+1=，可得，再利用等比数列的通项公式与对数的运算性质即可得出．解答：解：函数f（x）=有唯一不动点，∴有唯一实数根，化为ax2+（2a ﹣1）x=0，∵a≠0，∴△=（2a﹣1）2﹣0=0，解得a=．∴f（x）=．∵且x1=2，x n+1=，∴x n+1==，∴，∴数列{x n﹣1}是等比数列，∴，∴．∴（x 2014﹣1）==2013．故选：B．点评：本题考查了新定义“不动点”、等比数列的通项公式与对数的运算性质，考查了等价转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2．（2012?泸州二模）设a，b为正实数，，（a﹣b）2=4（ab）3，则log a b=（）A ．1 B．﹣1 C．±1 D．考点：对数的运算性质．专题：综合题．分析：由a，b为正实数，，知a+b，由（a﹣b）2=4（ab）3，知（a+b）2=4ab+（a﹣b）2=4ab+4（ab）3≥4=8（ab）2，故，所以a+b=2ab，由此能够求出log a b．解答：解：∵a，b为正实数，，，∵（a+b）2=4ab+（a﹣b）2=4ab+4（ab）3≥4=8（ab）2，∴，①故a+b=2ab，②由①中等号成立的条件知ab=1，与②联立，解得，或．∴log a b=﹣1．故选B．点评：本题考要对数性质的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值不等式的灵活运用．3．（2014•天津二模）设a＞b＞0，a+b=1且x=（）b，y=log a，z=a，则x，y，z的大小关系是（）A ．y＜x＜z B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．x＜y＜z考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及分析：利用对数函数和指数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a＞b＞0，a+b=1，∴，∴y=loga＜z=a，即y＜z．∵a＞b＞0，a+b=1，∴，，0＜b＜a＜1．∴z=a=0，=1．∴x＞z．∴y＜z＜x．故选：C．点评：本题考查了对数函数和指数函数的单调性，属于难题．4．（2010?广州模拟）若2＜x＜3，，Q=log2x，，则P，Q，R的大小关系是（）A ．Q＜P＜R B．Q＜R＜P C．P＜R＜Q D．P＜Q＜R考点：对数值大小的比较；指数函数的定义、解析式、定义域专题：计算题；综合题．分析：利用指数函数与对数函数及幂函数的性质可得到＜P＜，Q＞1，R＞，再构造函数x=22t，通过分析y=2t 和y=2t的图象与性质，得到结论．解答：解：P=在x∈（2，3）上单调递减，＜P＜；Q=log2x在x∈（2，3）上单调递增Q＞1；R=在x∈（2，3）上单调递增，R＞，显然需要比较的是Q，R的大小关系．令x=22t，这是一个单调递增函数，显然在x∈（2，3）上x与t 一一对应，则1＜Q=log2x=2t，R=2t＜，∴＜t＜log23＜?log24=1，在坐标系中做出图象，两曲线分别相交在t=1和t=2 处，可见，在t＜1范围内y=2t 小于y=2t，在1＜t＜2 范围内y=2t 大于y=2t，在t＞2 范围内y=2t 小于y=2t，∵＜t＜1，∴2t＜2t，即R＞Q；∴当2＜x＜3时，R＞Q＞P．故选D．点评：本题考查对数值大小的比较，难点在于Q，R的大小比较，考查构造函数，通过指数函数与一次函数的图象与性质分析解决问题，考查学生综合分析与解决问题的能力，属于难题．5．设a，b，x∈N*，a≤b，已知关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，当ab取最大可能值时，=（）A ．B．6 C．D．4考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga可得，利用对数函数的单调性可得，由于a，b，x∈N*，关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，可得，化为．由于a≤b．可得ab≥51+1，再利用基本不等式即可得出．解答：解：由不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga可得，∴，∵a，b，x∈N*，关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，∴52＞，∵a，b，x∈N*，a≤b．∴（a=1时不成立），∴．令g（a）=，∵a≥2，可知g（a）单调递减．当a=2时，，取ab=68时，b=34．取ab=69，b不是整数，舍去．因此ab的最大值为68．∴当ab取最大可能值时，=6．故选：B．点评：本题考查了集合的意义、基本不等式的性质，考查了推理能力，属于难题．6．函数f（x）的定义域为D，满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[]?D，使得f（x）在[]上的值域为[a，b]，那么就称函数y=f（x）为“优美函数”，若函数f（x）=log c（c x﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则t的取值范围为（）A ．（0，1）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（0，）考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据复合函数的单调性，先判断函数f（x）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．解答：解：若c＞1，则函数y=c x﹣t为增函数，y=log c x，为增函数，∴函数f（x）=log c（c x﹣t）为增函数，若0＜c＜1，则函数y=c x﹣t为减函数，y=log c x，为减函数，∴函数f（x）=log c（c x﹣t）为增函数，综上：函数f（x）=log c（c x﹣t）为增函数，若函数f（x）=log c（c x﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则，即，即，是方程x2﹣x+t=0上的两个不同的正根，则，解得0＜t＜，故选：D点评：本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，判断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．7．（2012•湖北模拟）已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+]=3”，则方程f（x）=2+的解的个数是（）A ．3 B．2 C．1 D．O考点：对数的运算性质；函数单调性的判断与证明．专题：综合题．分析：由题设知必存在唯一的正实数a，满足，f（a）=3，，故3+，，，左增，右减，有唯一解a=2，故，由此能够导出方程f（x）=2+的解的个数是2．解答：解：∵定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），满足f[f（x）+]=3，f（x）=2+，∴必存在唯一的正实数a，满足，f（a）=3，①∴，②由①②得：3+，，，左增，右减，有唯一解a=2，故，f（x）=2﹣，由2﹣=2+，得，∴，令，则t2=2t，此方程只有两个正根t=2，或t=4，∴x=4，或x=16．故方程f（x）=2+的解的个数是2．故选B．点评：本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．8．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象可能是（）A ．B．C．D．考点：指数函数的图像与性质；二次函数的图象．专题：计算题．分析：二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象，分别判断a，b，c的符号及关系，由此寻找正确答案．解答：解：A中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a＞0，b＞0，c=0，．此时，y=（）x即y=（）x为减函数，故A成立；B中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a＞0，b＜0，c=0．此时，＜0，函数y=（）x无意义，故B不成立；C中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a＜0，b＜0，c=0，．此时，y=（）x即y=（）x为增函数，故C不成立；D中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a＞0，b＜0，c=0．此时，＜0，函数y=（）x无意义，故D不成立；故选A．点评：本题考查指数函数和二次函数的图象和性质，解题时结合图象要能准确地判断系数的取值．9．已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=2log a（2x+t）（a＞1），若x∈[0，1），t∈[4，6）时，F（x）=g（x）﹣f（x）有最小值是4，则a的最小值为（）A ．10 B．2 C．3 D．4考点：对数的运算性质；函数的最值及其几何意义；对数函数的值域与最值．专题：计算题．分析：把f（x）和g（x）代入到F（x），然后利用对数的运算性质化简，转化为关于a的不等式，再运用基本不等式即可．解答：解：∵f（x）=log a（x+1），g（x）=2log a（2x+t）（a＞1），x∈[0，1），t∈[4，6）时，F（x）=g（x）﹣f（x）有最小值是4，∴F（x）=g（x）﹣f（x）=，x∈[0，1），t∈[4，6）∵a＞1，∴令h（x）===4（x+1）+4（t﹣2）+∵0≤x＜1，4≤t＜6，∴h（x）=4（x+1）++4（t﹣2）在[0，1）上单调递增，∴h（x）min=h（0）=4+（t﹣2）2+4（t﹣2）=[（t﹣2）+2]2=t2，∴F（x）min=log a t2=4，∴a4=t2；∵4≤t＜6，∴a4=t2≥16，∴a≥2．故选B．点评：此题考查对数的运算性质，要求学生灵活运用对数运算的性质，熟练运用化归思想解决恒成立问题，易错点转化为a4≤在于h（x）=4（x+1）++4（t﹣2），该先把最小值解出，再令它等于4，转化为在t∈[4，6）上有解，属于难题．10．（2013?自贡一模）已知对数函数f（x）=log a x是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）A ．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质；函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：先导出再由函数f（x）=log a x是增函数知，a＞1．再由对数函数的图象进行判断．解答：解：由函数f（x）=log a x是增函数知，a＞1．故选B．点评：本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力．这类试题经常出现，要高度重视．二、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）11．已知函数f（x）=，a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）当a≠b时，利用（1）中的结论，证明不等式：．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分子分母同时除以b x，然后根据指数函数和分式函数的单调性之间的关系，即可判断函数f（x）的单调性；（2）当a≠b时，利用（1）中的结论，将不等式中的式子转化为对应的函数值，利用函数的单调性即可证明不等式：．解答：解：（1）f（x）===，若a=b，则f（x）=a，此时函数为常数函数，不单调．若a＞b，则b﹣a＜0，，则为增函数，∴根据符合函数单调性之间的关系可知f（x）为增函数．若a＜b，则b﹣a＞0，，则为减函数，∴根据符合函数单调性之间的关系可知f（x）为增函数．综上当a≠b时，函数f（x）的单调递增．（2）∵f（x）=，∴f（0）=，f（1）=，f（﹣1）=，f（）=，∵当a≠b时，函数f（x）的单调递增．且﹣1，∴f（﹣1）＜f（）＜f（0）＜f（1），即成立．点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，要求熟练掌握系，将不等式中的式子转化为对应的函数值是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=2x+|x|．（1）解不等式：≤f（x）≤；（2）若关于x的方程f（2x）+af（x）+4=0在（0，+∞）上有解，求实数a的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）将函数表示为分段函数形式，然后根据分段函数即可解不等式：≤f（x）≤；（2）利用换元法将方程转化为关于t的方程形式，然后利用基本不等式即可得到结论．解答：解：（1）当x≤0时，f（x）=2x+|x|=2?2x=2x+1≤2，当x＞0时，f（x）=2x+（）x．∴由不等式≤f（x）≤≤2x+1，即2≤2x+1，∴x+1，即﹣≤x≤0，当x＞0等价为2x+（）x≤，设t=2x，则t＞1，∴，即4t2﹣17t+4≤0，解得，此时1＜t≤4，此时1＜2x≤4，解得0＜x≤2．综上不等式的解为﹣≤x≤2，即不等式的解集为{x|﹣≤x≤2}．（2）∵当x＞0时，f（x）=2x+（）x．∴f（2x）+af（x）+4=0在（0，+∞）上等价为：，即，①设t=，则当x＞0时，t＞2，此时方程①等价为t2+at+2=0，即，∵当t＞2时，g（t）=单调递增，∴g（t）＞g（2）=3，∴﹣g（t）=﹣（）＜﹣3，∴要使有解，则a＜﹣3，即实数a的取值范围是a＜﹣3．点评：本题主要考查不等式的解法以及基本不等式的应用，将函数表示为分段函数形式，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．13．设f（x）=（）x﹣3x，解关于x的不等式f（）+f（x）≤0．考点：指数函数综合专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据指数函数的性质判断函数f（x）的单调性和奇偶性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转换，然后根据不等式的解法讨论a的取值即可得到结论．解答：解：根据函数单调性的性质可知f（x）=（）x﹣3x为减函数，且f（x）=（）x﹣3x=3﹣x﹣3x，则f（﹣x）=3x﹣3﹣x=﹣（3﹣x﹣3x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，则不等式f（）+f（x）≤0等价为f（）≤﹣f（x）=f（﹣x），∴≥﹣x．即+x==≥0．若a=1，则不等式=1≥0恒成立，此时不等式的解集为{x|x≠1}．若a＞1，则由不等式≥0得x≥a或x＜1，即不等式此时的解集为{x|x≥a或x＜1}，若a＜1，则由不等式≥0得x≤a或x＞1，即不等式此时的解集为{x|x≤a或x＞1}，综上：若a=1，不等式的解集为{x|x≠1}．若a＞1，不等式此时的解集为{x|x≥a或x＜1}，若a＜1，不等式此时的解集为{x|x≤a或x＞1}．点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的单调性和奇偶性将条件进行转化是解决本题的关键，本题综合考查函数的性质，综合性较强，有一定的难14．已知α，β满足等式，试求α+β的值．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由α，β所满足的等式联想构造函数f（x）=x3﹣3x2+5x﹣3，由g（t）=f（t+1）=（t+1）3﹣3（t+1）2+5（t+1）﹣3=t3+2t是奇函数，令p+1=α，q+1=β得到f（α）=﹣2，f（β）=2．从而有g（p）=﹣g（q），即p+q=0，而p=α﹣1，q=β﹣1．由此可求得α+β的值．解答：解：由，设f（x）=x3﹣3x2+5x﹣3，∴g（t）=f（t+1）=（t+1）3﹣3（t+1）2+5（t+1）﹣3=t3+2t是奇函数．令p+1=α，q+1=β，f（α）=g（p）=p3+2p=﹣2，f（β）=g（q）=q3+2q=2．∴g（p）=﹣g（q）而p=α﹣1，q=β﹣1．即：α﹣1+β﹣1=0．得到：∴α+β=2．点评：本题考查了函数的性质及其应用，考查了学生的灵活思维能力，解答此题的关键在于构造函数f（x）=x3﹣3x2+5x﹣3，是压轴题．15．如果函数f（x）=a x（a x﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠0）在区间[0，+∞）单调递增，那么实数a的取值范围是什么考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为一元二次函数形式，利用符合函数单调性之间的关系即可得到结论．解答：解：设t=a x，当x≥0时，则函数f（x）=a x（a x﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠0）等价为：y=g（t）=t（t﹣3a2﹣1）=t2﹣（3a2+1）t，对称轴t=若a＞1，则当x≥0时，t≥1，此时函数t=a x单调递增，要使函数f（x）在区间[0，+∞）则g（t）在[1，+∞）单调递增，即对称轴t=≤1，即3a2≤1，即0＜a＜，此时不成立，若0＜a＜1，则当x≥0时，则0＜t≤1，此时函数t=a x单调递减，要使函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则g（t）在0＜t≤1单调递减，即对称轴t=≥1，即3a2≥1，即≤a＜1，即实数a的取值范围是≤a＜1．点评：本题主要考查符合函数单调性的应用，根据同增异减的原则是解决本题的根据，本题还使用了换元法，注意对a要进行分类讨论．16．（2007?浦东新区二模）记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1，g（x）=2x﹣1是否是M的元素；（2）设函数f（x）=log a（1﹣a x），求f（x）的反函数f﹣1（x），并判断f（x）是否是M的元素；（3）若f（x）≠x，写出f（x）∈M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．考点：对数函数图象应用；元素与集合关系的判断；反函数．专题：综合题．分析：（1）依题意，可求得f（f（x））=x，g（g（x））=4x﹣3，从而可作出判断；（2）由y=，a＞1时可求得其反函数为y=（x＜0），0＜a＜1时，反函数为y=（x＞0），可求得f（f（x））=x，从而可判断f（x）是否是M的元素；（3）f（x）≠x，f（x）∈M的条件是：f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）=f（x），举例即可．解答：解：（1）∵对任意x∈R，f（f（x））=﹣（﹣x+1）+1=x，∴f（x）=﹣x+1∈M﹣﹣（2分）∵g（g（x））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3不恒等于x，∴g（x）?M﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设y=，①a＞1时，由0＜1﹣a x＜1解得：x＜0，y＜0；由y=，解得其反函数为y=，（x＜0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）②0＜a＜1时，由0＜1﹣a x＜1解得：x＞0，y＞0解得函数y=的反函数为y=，（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵f（f（x））===x∴f（x）=∈M﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）（3）f（x）≠x，f（x）∈M的条件是：f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）=f（x）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）函数f（x）可以是：f（x）=（ab≠0，ac≠﹣b2）；f（x）=（k≠0）；f（x）=（a＞0，x∈[0，]）；f（x）=（a＞0，a≠1）；f（x）=sin （arccosx），（x∈[0，1]或x∈[﹣1，0]），f （x）=cos （arcsinx）；f（x）=arcsin （cosx），（x∈[0，]或x∈[，π]），f（sinx）．以“；”划分为不同类型的函数，评分标准如下：给出函数是以上函数中两个不同类型的函数得（3分）．属于以上同一类型的两个函数得（1分）；写出的是与（1）、（2）中函数同类型的不得分；函数定义域或条件错误扣（1分）．点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查反函数，考查抽象思维与综合分析与应用的能力，属于难题．17．（2010?徐州一模）设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数图象上的两点，且，点P的横坐标为．（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若，求S n；（3）记T n为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．①；②考点：指数函数综合题；数列的应和．专题：计算题；证明题．分析：（1）由得到P是P1P2的中点?x1+x2=1?y1+y2=1得到y p即可；（2）由（1）知x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，而能写成，两者相加可得S n；（3）先表示T n的同项公式，求出之和，根据利用基本不等式求出a的取值范围即可．解答：解：（1）∵，∴P是P1P2的中点?x1+x2=1==1∴（2）由（1）知x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，，，相加得=2f（1）+1+1+…+1=n+3﹣2（n﹣1个1）∴（3）∵，当且仅当n=4时，取“=”∴，因此，点评：考查学生运用数列及数列求和的能力，理解掌握指数函数性质的能力，以及会用基本不等式证明的能力．18．（2011?哈尔滨模拟）已知f（x）=ae﹣x+cosx﹣x（0＜x＜1）（1）若对任意的x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：综合题．分析：（1）由f（x）＜0，得a＜（x﹣cosx）?e x，记g（x）=（x﹣cosx）?e x，求出g（x）的导数，利用导数判断g（x）在（0，1）的单调性，再由函数的单调性进行求解．（2）构造函数h（x）=（0＜x＜1），且h（0）=0，求出h（x）的导数，再由导数判断h（x）在（0，1）上的单调性，再借助函数的单调性进行求解．解答：解：（1）由f（x）＜0，得a＜（x﹣cosx）?e x，记g（x）=（x﹣cosx）?e x，则g′（x）=（1+sinx）•e x+（x﹣cosx）•e x=（1+sinx﹣cosx+x）•e x，∵0＜x＜1，∴sinx＞0，1﹣cosx＞0，e x＞0，∴g（x）在（0，1）上为增函数．∴﹣1＜g（x）＜（1﹣cos1）•e，故a≤﹣1．（2）构造函数h（x）=（0＜x＜1），且h（0）=0，则h′（x）=﹣e﹣x+cosx﹣x，由（1）知：当a=﹣1时，f（x）=﹣e﹣x+cosx﹣x＜0（0＜x＜1），∴h（x）在（0，1）单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，即．点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意导数的应用，掌握构造法在解题中的合理运用．19．（2009•金山区一模）已知函数f（x）=log a在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）．（1）求出m的值，并求出定义域D；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值．考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数单调性的判断与偶性的性质．专题：证明题；综合题；转化思想．分析：（1）由函数f（x）是奇函数，可得出f（﹣x）=﹣f（x），由此方程恒成立，可得出参数m的方程，解出参数的值，再由对数的真数大于0得出x的不等式，解出函数的定义域即可；（2）由于本题中参数a的取值范围未定，故应对它的取值范围分类讨论，判断函数的单调性再进行证明；（3）由题设x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），可根据函数的单调性确定出两个参数a及r的方程，解方程得出两个参数的值．解答：解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以log a=log a，…（2分）即1﹣m2x2=1﹣都成立，…（3分）所以m2=1，m=±1，…（4分）由于＞0，所以m=﹣1…（5分）所以f（x）=log a，D=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）…（6分）（2）当a＞1时，f（x）=log a，任取x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，…（7分）则f（x1）﹣f（x2）=log a﹣log a=log a（+1）﹣log a（+1）…（9分）由于x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，所以+1＞+1，得f（x1）＞f（x2），…（10分）x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=…=…，得出f （x1）＞f（x2）即可．即f（x）在（1，+∞）上单调递减…（11分）同理可得，当0＜a＜1时，f （x）在（1，+∞）上单调递增…（13分）（3）因为x∈（r，a﹣2），定义域D=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），1°当r≥1时，则1≤r＜a﹣2，即a ＞3，…（14分）所以f（x）在（r，a﹣2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a﹣2）=1，…（15分）即log a=l og a=1，即=a，…（16分）所以a=2+且r=1 …（18分）2°当r＜1时，则（r，a﹣2）⊈（﹣∞，﹣1），所以0＜a＜1因为f（x）在（r，a﹣2）上为增函数，所以f（r）=1，a﹣2=﹣1，解得a=1与a＞0（舍）…（20分）点评：本题考察对数函数性质的综合运用，解答本题关键是熟练掌握对数的性质，函数单调性的证明方法，单调性的运用等结论，本题中第三小问是难点，第二问证明较繁琐，是本题的重点．本题考察了打理证明的能力，等价转化的能力以及转化的思想20．（2004•宝山区一模）已知f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线最多只有一个交点；（3）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用；偶函数．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据偶函数可知f（x）=f（﹣x），取x=﹣1代入即可求出k的值；（2）由（1）中结论，可以得到函数的解析式，构造函数y=log4（4x+1）﹣x，分析出函数的单调性及值域，根据函方法，我们易确定b取不同值时，函数零点个数，进而得到答案．（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则方程f（x）=g（x）有且只有一个实根，化简可得有且只有一个实根，令t=2x＞0，则转化才方程有且只有一个正根，讨论a=1，以及△=0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．∴f（﹣x）=f（x）即log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx即log4（4x+1）﹣（k+1）x=log4（4x+1）+kx即2k+1=0∴k=证明：（2）由（1）得f（x）=log4（4x+1）x﹣x由于y=log4（4x+1）﹣x为减函数，且恒为正故当b＞0时，y=log4（4x+1）﹣x﹣b有唯一的零点，此时函数y=f（x）的图象与直线有一个交点，当b≤0时，y=log4（4x+1）﹣x﹣b没有零点，此时函数y=f（x）的图象与直线没有交点故对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线最多只有一个交点；（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点即方程有且只有一个实根化简得：方程有且只有一个实根令t=2x＞0，则方程有且只有一个正根，不合题意；②或﹣3若，不合题意；若③若一个正根和一个负根，则，即a＞1时，满足题意．所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=﹣3}点评：本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，由于综合考查了多个函数的难点，属于难题．。