中考数学
一元二次方程根的分布问题-数形结合的方法
若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】：01>x ，02>x ⇔
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆0
0)0(0
42b c f a ac b
上述推论结合二次函数图象不难得到。

【定理2】：01<x ，02<x ⇔
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆0
0)0(0
042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。

【定理
3】210x x <<⇔
0<a
c
【定理4】 ○101=x ，02>x ⇔0=c 且
0<a
b
； ○
201<x ，02=x ⇔0=c 且0>a
b。

二．一元二次方程的非零分布——k 分布
设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

【定理
1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
>->≥-=∆k a
b k af a
c b 20)(0
42
【定理2】k
x x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<->≥-=∆k a
b k af a
c b 20)(0
42。

【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af。

【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k
f
【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0
)(0)(0
)(021
21p f p f k f k f a
此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆212
1220
)(0)(004k a b k k f k f a ac b。