《概率论与数理统计》 第十六课：三大抽样分布
16 三大抽样分布
一.来自正态总体的几个常用统计量的分布
(一) 2分布
1. 定义及概率密度
X1,X2,…Xn 是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
服从自由度为n的2分布. 记为2 ～ 2(n).
2 分布是由正态分布派生出来的一种分布.
2 2
X4
6 2
X 5 )2
~
2 (2)
dx
12
n3
1
2n
4. 上分位点
2
对于给定的 (0 1)，称满足条件：
P{ 2 2 (n)}
的点2 (n)为 2(n)分布的上分位点。
当n充分大时，2 (n)
1 2 (z
2n 1)2
z 是标准正态分布的上分位点。
例1：设总体X N , 2 , , 2 已知。 X1, X 2, , X n 是取自总体X的样本
2分布的密度函数为
f (x,n)
2n
1 2 (n
n
x
1
x2 e 2
2)
0
其中伽玛函数( x) 通过积分
x0 x0
( x) ett x1dt, x 0 0
来定义. ( x 1) x( x)
(n 1) n!
(1)
2
2分布的 密度函数 的图形如 右图.
2. 2分布的可加性
(1) 设X1, X 2 ,, X n 相互独立, 都服从正态分布
N (, 2 ), 则
2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2 n
(2) 设
X1
~
2 n1
,
X
2
~
2 n2
,
且X1,X2相互
独立，则
X1
X2
~
2 n1 n2
3. 期望和方差
E( 2 ) n, D( 2 ) 2n
E(
2)
E
(
X
2 1
X
求(1)统计量
2
1
2
n
(Xi )2
i 1
的分布；
（2）设n=5,若a(X1 X 2 )2 b(2 X3 X 4 X5 )2 ~ 2 (k),
则a,b,k各为多少？
解：(1)作变换
Yi
Xi
i 1, 2,
,n
显然Y1,Y2, ,Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2, , n
于是
2
n i 1
(
X
i
)2
n
Yi 2
i 1
2
n
1
a 2 2 ,
1
b 6 2 ,
k 2.
(2)
X1
X2
~
N
(0,
2
2
),
(
X
1X
2 2
2
)2
~
2 (1)
2X3
X4
X5
~
N (0, 6 2 ), (2 X3
X4
6 2
X 5 )2
~
2 (1)
X1
X
2与2X
3
X
4
X
相互独立，
5
故 (X1 X2)2 ＋(2X3
2 2
X
2 n
)
E
(
X
2 1
)
E
(
X
2 2
)
E
(
X
2 n
)
nE
(
X
2 i
)
n{ D(
Xi
)
[E(
X
i
)]2
}
n(1 02 ) n
D(
2)
D(
X
2 1
X
2 2
X
2 n
)
D(
X
2 1
)
D(
X
2 2
)
D(
X
2 n
)
nD (
X
2 i
)
n{ E (
X4 i)[E(X2 i
)]2
}
n
x4
1
2
e
x2 2