引言
▪ 有许多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态 变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的 应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其 抽样分布的密度函数有明显表达式，他们被称为统计中 的“三大抽样分布”.
▪ 若设 x1, x2 xn , y1, y2, , ym 是来自标准正态分布的两个 相互独立的样本，则此三个统计量的构造及其抽样分布 如表5.4.1所示.
X2
第二步，我们导出 F
n
Z
的密度函数
m
首先，我们导出 Z X1 的密度函数
X2
m
12
X1
~
2(m)
p1( x1)
2
m
m
x1 2
1e
x1 2
,
2
n
1 2
X2
~
2(n)
p2 ( x2 )
2
n
x2
e n 1
2
x2 2
,
2
x1 0 x2 0
Z的密度函数为
pZ (z)
n 40 n 10
n4 n 1
若F ~ F(m, n),对给定的 (0 1),称满足
PF F1 m, n 1
的F1 (m, n)是自由度为m与n的F分布的1 分位数.
F (4,10)
PF F1 m,n 1
给定 0.05, m 4, n 10,查表知
PF (4,10) 3.48 0.95
s
2 y
/
2 1
/
2 2
~
F(m 1, n 1)
特别，若
2 1
2 2
，则
F
s
2 x
/
s
2 y
~
F(m 1, n
1)
证明: 由两样本独立可知，
s
2 x
与
s
2 y
相互独立且
(m
1)s
2 x
~
2 (m 1)
2 1
(n
1)
s
2 y
~
2 (n 1)
2 2
由F分布定义可知F~F（m-1，n-1）
推论5.4.3
分位数 t1 (n) 可以从附表4中查到。譬如ｎ=10,ａ=0.05, 那么从附表4 上查到
t10.05 (10) t0.95 (10) 1.812
由于ｔ分布的密度函数关于0对称，故其分位数间有如下关系
譬如
t (n) t1 (n)
t0.05 (10) t0.95 (10) 1.812
。
5.4.4 一些重要结论
x ~ N (0,1) / n
(5.4.5)
将5.4.4 左端改写为 n(x ) s
x / n (n 1) s2 / 2
n 1
(5.4.6)
由于分子是标准正态变量，分母的根号里是自由度为n-1 的t变量除以它的自由度，且分子与分母相互独立，由t分布定 义可知，t~t（n-1），推论证完。
F n, m
1
F1 m, n
例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么从附表5上查得
F10,05 10，5 F0.9510，5 4.74
由F n, m
1
F1 m, n
F0.0510,5
1
F0.95 5,10
1 3.33
0.3
5.4.3 t 分布
▪ 定义5.4.3 设随机变量X1与X2 独立且 X1 ~ N0，1，X 2 ~ 2 n
2(10)
5.4.2 F分布
定义5.4.2 设 X1 ~ 2 m, X 2 ~ 2 n, X1 与X 2 独立，则称
F＝ X1 m 的分布是自由度为m与n的F分布,记为 X2 n
F ~ Fm,n
其中m称为分子自由度，n称为分母自由度.
问题：如何确定 F 的分布？
首先，我们导出 Z X1 的密度函数
N (0,1)
t(40)
N(0，1)和t(4)的尾部概率比较
pX c X~N(0,1)
c=2 0.0455
c=2.5 0.ห้องสมุดไป่ตู้124
c=3
c=3.5
0.0027 0.000465
X~t(4) 0.1161 0.0668 0.0399 0.0249
当随机变量 t ~ t(n) 时称满足 P(t t1 (n)) 1 的 t1 (n) 是自由度为ｎ的ｔ分布的1-ａ分位数。
X12
X
2 2
/
n
~
F (1, n)
所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为：
pt ( y)
ypF ( y2 )
(1
n
)(
1
)
1 2
2n
(1)( n )
(
y
2
)
1 2
1
(1
1 n
y
2
1n
)2
y
22
( n 1) 2
(1
y2
n1
) 2,
n ( n ) n
2
y .
这就是自由度为ｎ的ｔ分布的密度函数。
图像： 密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布
n4 n6
n 10
n4 n6
n 10
n 20
当随机变量 2～ 2 (n) 时，对给定的 (0 1) ，称满足
P(
2
2 1
(n))
1
的
2 1
(n)是自由度为n的卡方分布的
1－
分位数.
12－0.0（5 10）＝ 02.9（5 10）＝18.31
n x)2 yi2 y12 yi2
i 1
i 1
这证明了结论（1）
由于
yi ~ N 0, 2
yi
~ N (0,1)
(n
1) s2
2
n ( yi
i2
)2
~
2(n
1)
这证明了结论（3）
推论5.4.1 在定理5.4.1的记号下，有 t
n(x ) ~ t(n 1)
s
证明 由定理5.4.1（2）可以推出
x
y
N
(1
2 , (
1 m
1 n
)
2
)
(x - y) - (1 2 ) ~ N (0,1). 1 1
mn
由定理5.4.1知，
(m 1)sx2
2
~
2 (m 1)
(n
1)
s
2 y
2
~
2 (n 1)
独立，
2分布可加性
(m
n
2
2)sw2
(m
1)sx2
(n
1)
s
2 y
2
~
2(m n 2)
又x y与sw2 相互独立，根据t分布的定义即可得到（5.4.8）.
推论5.4.2 设 x1, , xm 是来自N(1,12 )的样本，y1, , yn 是来自
N
(
2,
2 2
)
的样本且此两样本相互独立，记
s
2 x
1 m 1
m i 1
(xi
x
)
2
,
s
2 y
1 n 1
n
( yi
i 1
y)2 ,
其中 x
1 m
m i 1
xi ,
y
1 n
n i 1
yi
则有
F
s
2 x
z0
第二步，我们导出 F n Z 的密度函数 m
pF
y
pZ
m n
y •
m n
m
2
n
m n
m n
m 1
y 2 1
m n
mn
y 2
•
m n
2 2
）
m
m n m 2 2 n
m n
y
m 2
1
1
m
mn
y 2
n
2 2
这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。
于是F0.95(4,10) 3.48即是自由度为(4,10)的 F分布的0.95分位数
问题：当比较大(1 比较小)的时候，如何确定分位数？
有F分布的构造知，若F~F(m,n),则有1/F~ F(n,m),故对给定
0 1
P
1 F
F
n,
m
P F
F
1
n,
m
，
P F
F
1
n,
m
1
PF F1 m,n 1
其均值和方差分别为
n
EY
A
EX
0
0
Var(Y ) AVar（X） AT A 2I AT 2 AAT 2I 由此，Y ( y1, , yn )T 的各个分量相互独立，且都服从正态
分布，其方差均为 2 ,而均值不完全相同，
E( y1) n
E( y2 ) 0 E( yn ) 0
在推论5.4.2的记号下，设
2 1
2 2
2
,并记
m
n
s
2 w
(m
1)s
2 x
(n
1)
s
2 y
mn2
(xi
i 1
x)2 (yi
i 1
mn2
y)2
则
(x y) (1 2 ) ~ t(m n 2)
sw
1 1 mn
(5.4.8)
证明 由 x ~ N 1, 2 / m , y ~ N (2, 2 / n) x 与 y 独立
E ( X )
Var( X ) 2I