存在 t1-? (n)>0， 满足
P{t? t1-? (n)} = 1- ?
则称 t1-? (n)为
t(n) 的下侧1- ? 分位点.
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t1?? (n)
第五章 统计量及其分布
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当随机变量t ?t(n) 时，称满足
P(t ? t1?? (n)) =1? ? 的 t1??(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1? ? 分位数.
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第五章 统计量及其分布
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? 自由度为1的 t 分布就是标准柯西分布，
它的均值不存在；
t1( x)
?
1
? (1 ?
x2)
,
?? ? x? ?.
? n?1时, t 分布的数学期望存在且为 0；
? n?2时，t 分布的方差存在，且为 n/(n?2)；
? 当自由度较大 (如n?30) 时， t 分布可以用
?? b ( 3 X 3 ? 4 X 4 ) ~ N ( 0 ,1 )
?? D [ ?
a ( X 1 ? 2 X 2 )] ? 1
?? D [ b ( 3 X 3 ? 4 X 4 )] ? 1
?a =1/20 b=1/100
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第五章 统计量及其分布
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5.4.2 F 分布
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第五章 统计量及其分布
t(n) 的概率密度为 :
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第五章 统计量及其分布
t 分布的密度函 数的图象是一个 关于纵轴对称的 分布，与标准正 态分布的密度函 数形状类似 ，只 是峰比标准正态 分布低一些尾部 的概率比标准正 态分布的大一些。
定义5.4.2 设X1 ? ?2(m), X2 ? ?2(n), X1与X2独立，
则称 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度为 m 与 n 的 F分布，记为F ? F(m, n)，其中m 称为分子自
由度，n 称为分母自由度。其概率密度为
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第五章 统计量及其分布
第五章 统计量及其分布
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§5.4 三大抽样分布
大家很快会看到，有很多统计推断是基于正 态分布的假设的，以标准正态变量为基石而 构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应 用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景， 而且其抽样分布的密度函数有明显表达式， 它们被称为统计中的 “ 三大抽样分布 ” 。
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分位数 t1?? (n) 可以从附表 4中查到。
譬如 n=10,? =0.05，那么从附表 4上查得
t1?0.05(10) = t0.95(10)=1.812 .
由于 t 分布的密度函数关于 0 对称, 故其分位数间 有如下关系
t? (n? 1)= ? t1??(n? 1)
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该密度 函数的 图象也 是一只 取非负 值的偏 态分布
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第五章 统计量及其分布
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2. F — 分布的分位点
对于 0<? <1，若存在
F1-? (m, n)>0 满足
P{F? F1-? (m, n)} = 1-? ，
则称 F1-? (m, n)为
F(m, n)的下侧1- ? 分位数
正态分布 N(0,1)近似。
lim
n? ?
tn ( x)
?
1 e? x2 2,
2?
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第五章 统计量及其分布
t(n) 的性质: (1) p(t) 关于 t=0 (纵轴) 对称。 (2) p(t) 的极限为 N(0，1) 的密度函数.
分位点
设T～t(n)，若对0<? <1,
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?2—分布的密度函数曲线
这是一个特殊的Gamma分布Γ(n/2,1/2)
?2 分布的性质：
分布可加性 若X～?2(n1)，Y～?2(n2 )， X 与 Y 独立，则 X+ Y～?2(n1+n2 ).
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第五章 统计量及其分布
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当随机变量 ?2 ? ?2(n) 时，对给定 ? (0?? ?1)，称满足
第五章 统计量及其分布
注:
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第五章 统计量及其分布
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例 设随机变量 X 和Y 相互独立且都服从正态分
布 则
N ,(而0,9)
和 X1,? ,分X9别是Y1来,?自,Y总9 体 X和Y的 s.r.s,
U ? X1 ? ? X9 ~ t (9) Y12 ? ? Y92
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第五章 统计量及其分布
F — 分布性质:
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第五章 统计量及其分布
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5.4.3 t 分布
定义 5.4.3 设随机变量 X1 与X2 独立，
且X1 ? N(0,1), X2 ? ?2(n), 则称
t=X1/? X2/n
的分布为自由度为 n 的t 分布，记为 t ?t(n) 。
? 证明：
X
?
1 9
9 i?1
Xi
~
N( 0,1 ),
Yi ~ N ( 0 ,1 ) 3
? ? 故
Y~ ?
9 i?1
(Yi )2 3
?
1 9
9 i ?1
第五章 统计量及其分布
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5.4.1 ?2 分布(卡方分布)
定义5.4.1 设 X1, X2,…, Xn, 独立同分布于标准
正态分布N(0,1) ，则?2= X12+… Xn2的分布称 为自由度为 n 的?2分布，记为 ?2 ? ?2(n) 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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第五章 统计量及其分布
P(?2 ? ?1?? 2(n)) 的 ?1? ? 2(n) 是自由度为n? 1的卡方分布 的1?? 分位数.
分位数 ?1?? 2(n) 可以从附表3 中查到。
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第五章 统计量及其分布
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该密度函 数的图像 是一只取 非负值的 偏态分布
E? 2 ? n,
Var( ? 2 ) ? 2n
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第五章 统计量及其分布
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例 设 X1 , X2 ,是X取3 , 自X4总体 N(0,4)的简单随机样
本.
X ? a(X1 ? 2X2)2 ? b(3X3 ? 4X4)2
当a= , b= 时,则
X ~ ? 2 (2).
解：由题意得
?? ?
a ( X 1 ? 2 X 2 ) ~ N ( 0 ,1 )