一、选择题
1．(2012·辽宁高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( )
A ．－1
B ．－12 C.12 D ．1
解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1.
答案：D
2．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB ⊥a ，则实数k 的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：AB ＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB ⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1. 答案：B
3．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )
A ．(－3,0)
B ．(2,0)
C ．(3,0)
D ．(4,0)
解析：设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，
BP ＝(x －4，－1)， ∴AP ·
BP ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，
故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时P (3,0)．
答案：C
4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则AD ·
BD 等于( )
A ．6
B ．8
C ．－8
D ．－6
解析：如图，AD ＝BC ＝AC －AB ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
BD ＝AD －AB ＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， 则AD ·
BD ＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8. 答案：B
二、填空题
5．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋xb 与－b 垂直，则实数x 的值为________． 解析：∵向量a ＋xb 与－b 垂直，
∴(a ＋xb )·(－b )＝－a·b －xb 2＝－2－5x ＝0，
∴x ＝－25
. 答案：－25
6．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB ·n |的最大值为________．
解析：AB ＝(2,2)，|AB |＝22，|AB ·n |≤|AB ||n |＝4，当且仅当AB 与n 共线且同向时取等号．
答案：4
7．向量BA ＝(4，－3)，向量BC ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为________．
解析：AC ＝BC －BA ＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而AC ·
BC ＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以AC ⊥BC ，
又|AC |≠|BC |，所以△ABC 是直角非等腰三角形．
答案：直角三角形
8．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4
得到向量b ，则向量b 的坐标为________．
解析：设b ＝(x ，y )，由已知条件得
|a |＝|b |，a·b ＝|a ||b |cos 45°. ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝5，2x ＋y ＝5×5×22， 解得⎩⎨⎧ x ＝22，y ＝322，或⎩⎨⎧ x ＝322，y ＝－22.
∵向量a 按逆时针旋转π4后，向量对应的点在第一象限，∴x >0，y >0，∴b ＝⎝⎛⎭⎫22
，322. 答案：⎝⎛⎭⎫22
，322 三、解答题
9．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .
(1)求证：AB ⊥AC ；
(2)求向量AD ；
(3)求证：AD 2＝BD ·CD .
解：(1)∵AB ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，
AC ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)，
AB ·AC ＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，
∴AB ⊥AC .
(2) BC ＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)．
设BD ＝λBC ＝(5λ，5λ) 则AD ＝AB ＋BD
＝(－3，－6)＋(5λ，5λ)
＝(5λ－3,5λ－6)，
由AD ⊥BC 得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，解得λ＝
910， ∴AD ＝(32，－32
)． (3)证明：AD 2＝94＋94＝92
， |BD |＝50λ2＝922
， |BC |＝52，|CD |＝|BC |－|BD |＝
22. ∴|AD |2＝|BD |·|CD |，即AD 2＝BD ·CD .
10．平面内有向量OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点． (1)当MA ·MB 取最小值时，求OM 的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．
解：(1)设OM ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，
∴向量OM 与OP 共线，又OP ＝(2,1)．
∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .
∴OM ＝(2y ，y )．又MA ＝OA －OM ，OA ＝(1,7)，
∴MA ＝(1－2y,7－y )．
同理MB ＝OB －OM ＝(5－2y,1－y )．
于是MA ·
MB ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12. 可知当y ＝202×5
＝2时，MA ·MB 有最小值－8，此时OM ＝(4,2)．
(2)当OM＝(4,2)，即y＝2时，
有MA＝(－3,5)，MB＝(1，－1)，|MA|＝34，|MB|＝2，MA·MB＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝
MA·MB
|MA||MB|
＝
－8
34×2
＝－
417
17.。