§3-3 非周期信号的频谱---傅里叶变换
一、非周期信号频谱的定义---傅里叶变换
由第一节我们知道，周期信号的频谱由其傅里叶系数 表示。其傅里叶系数
1 A k T
T 2 jk1t jk x ( t ) e dt A e k
T 2
据此，可以作出信号的频谱图。一周期性矩形波及其频谱 图如下：
于是，将傅里叶级数分析式两边统乘T
TA k
jk1t x ( t ) e dt
T 2
T 2
取T→∞的极限
lim
T
TA k lim
T T 2
x(t )e
T 2
jk1t

dt

jt x ( t ) e dt X ( j)
应该是一确定的函数。

lim
T
我们将X(jΩ)表示非周期信号的频谱，即是傅里叶正变 换
X ( j)
jt x ( t ) e dt

式
1 jt x(t ) X ( j ) e d 2

即是傅里叶反变换。上两式称作傅里叶变换对，常表示为
FT x(t ) X ( j) ℱ x (t )
x(t ) ℱ -1 X ( j)
二、傅里叶变换的收敛问题
得到傅里叶变换的过程，隐含着其存在的充分条件与 傅里叶级数一样：必须满足狄利赫里条件，即参加变换的 函数在任一有限区间内， ⑴ 只有有限个一类间断点；
⑵ 只有有限个极值点，或称有限次振荡；
而且在整个时间上要
⑶ 绝对可积



x(t ) dt
x(t )
E T
2 2
E T
Ak
T
t
0
1
2
k1
x(t )
E T
2 2
E T
A k
T
t
0
1
2
k1
上例中，若周期T增大，
x(t )
E T
2 2
A k
E T
T
t
0 1
Hale Waihona Puke 2 k1对应的频谱图中谱线变密（Ω1=2π/T变小），谱线的长度 变小。设想当T→∞，各谱线间的间隔Ω1→d Ω，频谱的自 变量kΩ1由离散变量变成连续变量：Ω，谱线的长度均趋 于无穷小，但各谱线的相对大小关系是不变的，即此时谱 线的长度与1/T是同阶无穷小。
x(t )
E T
2 2
E
TA k
T
t
0
1
2
k1
x(t )
E T
2 2
E
TA k
T
t
0 1
2
k1
x(t )
E
2 2
E
TA k
t
0
2

对应的傅里叶级数展开式
x(t ) e jk1t A k

k
k
e jk1t T A k

1 1 jk1t 2 TAk e T 2 k T
当T→∞的时候，
x(t ) lim
T
1 jk1t 2 TAk e 2 k T 1 jk1t 1 jt T A e X ( j ) e d k 1 2 k 2
在我们今后的学习中同学们会看到，当允许频域中出 现冲激信号δ(Ω)时，以上绝对可积的条件不是必须的。于 是，许多不满足以上条件的信号，甚至于周期信号都可以 有它们的傅里叶变换。这给信号与系统的分析带来了很大 的方便。