第四章 周期信号的频域分析
1. 内容提要
本章介绍连续周期信号的傅立叶级数及其基本性质；连续周期信号频谱的概念，相位谱的作用。

对离散周期信号傅立叶级数和其基本性质做简单了解。

2. 学习目标
通过本章的学习，应达到以下要求：
（1）掌握周期信号频谱的概念及信号频带宽度的概念。

（2）熟悉傅里叶变换的主要性质。

（3）熟悉频域分析法。

（4）了解离散傅立叶级数的概念
3. 重点难点
（1） 信号的对称性和傅立叶系数的关系
（2） 连续信号的频谱分析，包括周期信号频谱的概念，相位谱和功率谱。

4. 应用
周期信号频域分析的MATLAB 实现
5. 教案内容
4.1 连续时间信号的傅立叶变换
周期信号的定义
周期信号是定义在001/f T =(,)-∞∞区间，每隔一定的时间间隔0T ，按相同规律重复变化的信号。

即对t R ∀∈，存在一个大于零的0T ，使得
0()(),f t T f t t R +=∀∈
其中0T 为基波周期，002/T ωπ=为基波角频率，001/f T =为基波频率
傅立叶级数的实质
就是将复杂信号分解成为更容易处理的信号形式。

4.1.1 指数形式的傅里叶级数
连续时间信号的傅立叶级数表示为
0()jnw t n n f t C e ∞
=-∞
=
∑
称n C 为周期信号()f t 的傅立叶系数。

傅立叶系数的计算公式为
00
00
1()t T jn t t Cn f t e dt T ω+-=
⎰
4.1.2 三角形式的傅立叶级数
若函数()f t 满足狄里赫利条件，周期信号f(t) 展开成傅里叶级数。

01111212111()cos sin cos 2sin 2cos sin n n f t a a t b t a t b t
a n t
b n t ωωωωωω=++++++++L L
0111
(cos sin )n n n a a n t b n t ωω∞
==++∑
式中，n 为正整数；系数0,,n n a a b 称为傅里叶系数，考虑到三角函数集是一组完备的正交函数集，因此，可得一个周期1(0,)T 的傅里叶系数：
1
11200112
11()()T
T T a f t dt f t dt T T -==⎰⎰
1
10
12()cos T n a f t n tdt T ω=⎰
1
10
12()sin T n b f t n tdt T ω=⎰
4.1.3 信号的对称性和Fourier 系数的关系
4.2 连续时间傅立叶级数的基本性质
1、线性
若11()()f t F ω↔，22()()f t F ω↔，则对于任意常数a 1和a 2，有：
11221122()()()()a f t a f t a F a F ωω+↔+
2、时移特性
若()()f t F ω↔，则
00()()j t f t t F e ωω±±↔
式中，0t 为常数。

3、卷积特性
若11()()f t F ω↔，22()()f t F ω↔，则
1212()()()()f t f t F F ωω*↔⋅
图4-1 时域卷积运算
图4-2 频域相乘运算
4、微分特性
设()f t 是以0T 为周期的周期信号，其傅立叶系数为
()n f t C ↔
则()f t 导数'()f t 的傅立叶系数为
'0()n f t jn C ω↔
若'()f t 的傅立叶系数为n D ，则()f t 的傅立叶系数为
0/,0n n C D jn n ω=≠
4.3 连续周期信号的频谱分析
4.3.1 周期信号频谱的概念
周期信号()f t 的指数形式傅立叶系数n C 一般为复函数，可表示为
0n
j n n C C e n ϕω=
n C 随频率变化的特性，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。

n ϕ随频率变化的特性称为信号的相位频谱，简称相位谱。

2
-
2
t
2
-2
t
=
*
τ
τ-⨯
=
注：若()f t 为实信号，则()f t 的幅度频谱为偶对称，相位频谱为奇对称。

周期信号频谱的特性：
1、离散频谱特性
所有周期信号的频谱都是由间隔为0ω的谱线组成，即离散频谱。

2、幅度衰减特性
周期信号的幅度频谱随着谐波0n ω增大时，幅度频谱n C 逐渐衰减，并最终趋于零。

4.3.2 相位谱的作用
谐波的相位使得各个谐波分量的幅度在不连续点前几乎都取相同的符号，在不连续点后各谐波分量的幅度取相反的符号。

4.3.3 信号的有效带宽
通常将包含主要谐波分量的0~2/πτ这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度（简称有效带宽），以符号或B f 表示，即有
2/B ωπτ=，1/B f τ=
4.3.4 周期信号的功率谱
1、Parseval 功率守恒定理
2n
n P C
∞
=-∞
=
∑
式中，n C 函数()f t 的傅立叶系数。

2、功率谱
上式中2
n C 随0n ω分布的特性称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。

6. 例题
【例4-1】填空：
1、设()f t 为实信号，则()f t 的幅度频谱为（ ）对称，相位频谱为（ ）对称。

2、对t R ∀∈，存在一个大于零的0T ，有0()(),f t T f t t R +=∀∈，则信号()
f t
的基波周期为（ ），基波角频率为（ ），基波频率为（ ）。

3、就离散性和连续性来讲。

所有周期信号的频谱都是（ ）频谱。

4、设存在一个周期为T ，脉冲宽度为2τ周期矩形脉冲，该脉冲频谱的有效带宽为（ ）。

【答案】 1、偶、奇
2、0T 、02/T π、01/T
3、离散
4、/πτ或1/2τ
【例4-2】利用傅立叶级数的性质求解信号的傅立叶变换。

()(1)2t
f t u =-求函数的付里叶变换。

(给定（1()()j at F a a ω↔
F 、1[()]()u t j πδωω
=+F ） 【 解 】由时移特性知：
0[()]()j t
f t t F e ωω--=F
0[()]()j t f t t F e ωω+=F
由1()()j at F a a
ω
↔
F ，得 0
01[()]()t j a f at t F e a a
ωω--=F
将
01/2,
1
a t ==代入，得
21
[(1)]2[(2)]22j t u e j ωπδωω
-∴-=+⋅F
（注F 为傅立叶变换的符号）
7. 习题解答
8. 本章小结
（1）任意连续的周期信号在满足狄里赫利条件下，都可以展开为傅里叶级数。

（2）傅里叶变换的性质更进一步地揭示了信号在产生、传输及处理的过程中，时域特性与频域特性的内在关系，从而奠定了信号与系统的理论基础。

（3）频域分析法把系统的激励和响应关系应用傅里叶变换从时域变换到频域。

9. 重点习题
1、例题4-1，例题4-2
2、习题3（教案中），习题8（4）和（6）（教案中）。