n
2
Sa( x) sin x x
---------取样函数
1.它是偶函数。
2. 当 x 0 时，Sa( x) 1 。
3.当 x k k 0 时，函数值为0。
Sax
1
3 2
0
2
它是无限拖尾的衰减振荡。
3 x
n
Fn T Sa( 2 )
n 0, 1, 2, .....
该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：
第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。
周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 :
1、各谱线的幅度按包络线 Sa( )的规律变化。
T
2
在2
m (m
1,
2,...)各处，即
2m
的各处，
包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等
第一个零点时谱线的序号：n 2
n 2 T
由上图 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：
第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。
第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非 Ω的谐波分量。
o 2 3 4 5 6
－ 10° － 15°
－ 30°
－ 20°
－ 30°
－ 45°
－ 45° (b)
图 3.3-2 信号的双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
二、 周期矩形脉冲的频谱
设有一幅度为1，脉冲宽度为 的周期性矩形脉
冲，其周期为 T ，求其复傅里叶系数。
f t
1
T 2 0 2 T
复习
• 1、傅里叶级数的三角形式 • 2、傅里叶级数的指数形式 • 3、傅里叶系数的奇偶性
3.3 周期信号的频谱
一、 周期信号的频谱
f (t)
A0 2
An cos(nt n)
n1
Fne
n
jnt
Fn
1 2
Ane jn
Fn e jn
1 T
T
2f
T 2
t e jnt dt
如果将 An ~ n ，n ~ n 的关系绘成下面的线图，
试画出f(t)的振幅谱和相位谱。
解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里
叶级数展开式。据
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(t)
A0 2
n1
An cos(nt
n )
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
A0 1 2
A1 3
T 相邻谱线的间隔 零，周期信号的
离散频谱 非周期信号的连续频谱。
f (t) =T/4
0
Tt
f (t) =T/ 8
1/ 4
Fn
2/
0
4/
8/
1/ 8
Fn
0
Tt
f (t)
=T/16
0
2/
4/
1/16
Fn
0
Tt
0
2/
图3.3-4 脉冲宽度与频谱的关系
16/ 8/ 4/
f (t) T=4
1/ 4
3
5
n
f t
n 1,3,5,
1
T
0
T
t
1
看作是周期性矩形脉冲
T 2
时的情况，其偶次谐
波恰恰落在频谱包络线的零值点，所以它的频谱只
包含基波和奇次谐波分量。
周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数:
f
t
E
sint
1 2
sin2t
1 3
sin3t
1 4
sin4t
E 1 n1 1 sinnt
n1
f (t)
Fne jnt
n
T
n
Sa (
n
2
)e jnt
Fn
1
4
T
Sa
2
4
2
0
2
4
图4.3-4 周期矩形脉冲的频谱（T=4）
T 4
Fn
1
4
T
Sa
2
4
2
0
2
4
相邻谱线的间隔： 2
T
零点的位置： n k n k 2
2
第一个零点的位置：
n
2
k 0
图 3.3-1 (a)振幅谱； (b) 相位谱
30 ° 30 °
20 °
|F n |
2
1.5
1.5
1
1
1
0.4 0.2
0.4 0.2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 －
便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各
分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。
如果将 Fn ~ n，n ~ n的关系绘成下面的线图，
同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各 分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。
例 3.3-1 f (t) 1 3cos(t 10) 2 cos(2t 20) 0.4 cos(3t 45) 0.8cos(6t 30),
Fn
0 T 2T 3T 4T t
0
f (t) T=8
1/ 8
2/ Fn
0
T
f (t) T=16
2T t
0
2/
1/16
Fn
0
f (t) T
Tt
0
/T
2/ Fn
0
t
0
2/
图3.3-5 周期与频谱的关系
4/ 4/ 4/ 4/
思考：
f t 4 [sint 1 sin3t 1 sin5t .... 1 sinnt ...]
n
f t
E 2
T
0
T
t
E 2
周期三角脉冲信号的傅里叶级数:
f
t
E 2
4E
2
cost
1 32
cos3t
1 52
cos5t
f t
E
t
T
0
T
三、 周期信号的功率
2T
t
图 3.3-3 周期矩形脉冲
f t
1
T 2 0 2 T
2T
t
Fn
1 T
T
2 T
f (t )e jnt dt
2
1
T
2
e jnt dt
2
1 e jnt 2
1
e
j
n
2
e
j
n
2
T jn jTn
2
1 jTn
2
j
sin
n
2
T
sin
n
2
n
2
T sa
n
2
Fn
T
S
a
A2 2
1 0 1 10 2 20
A3 0.4
3 45
A6 0.8
6 30
其余 An 0
An 3 3
o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
2 2
30 ° 30 °
20 °
1
0.8
15° 10°
0.4
o 2 3 4 5 6
(a)
o
2
3
4 5
6
(b)
n 45 °
45 °
于零。
2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说，
它可分解为无限多个频率分量。
通常把频率范围
0
f
1
(0
2
)
称为周期矩形脉冲
信号的带宽，用符号 F 表示，即周期矩形脉冲信
号的频带宽度为 F 1 。
3、周期相同，脉冲宽度不同时信号的频谱： 谱线间隔不变，但零点位置变化。
周期不同，脉冲宽度相同时信号的频谱： 零点位置不变，谱线间隔变化。