第一章 绪论1. *x ＝ n 21k a a a .010⨯±，如果｜*x －x|≤0.5n k 10-⨯（这里n 是使此式成立的最大正整数），则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值。

2．定理：设x 的近似值*x 有（1-1）的表示式： （１）如果*x 有n 位有效数字，则n 1110a 21|x ||x x |-**⨯≤- （２）如果n 1110)1a (21|x ||x x |-**⨯+≤-，则*x 至少有n 位有效数字。

第二章 非线性方程根求解1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)⋅f(b)<0，则必存在α∈(a,b)，使f(α)=0。

2.二分法的误差： |1k 1k k k 2ab |x x ||x x +-*-=-≤- 3. 局部收敛性：设α是f(x)=0的根，若存在α的一个邻域∆，当迭代初值属于∆时，迭代法得到的序列{k x }收敛到α，则称该迭代法关于根α具有局部收敛性。

4. 收敛速度：设i x 为第i 次迭代值，α是f(x)=0的根，令α-=εi i x ，且假设迭代收敛，即α=∞→i i x lim 。

若存在实数P ≥1，使 c ||||limpi 1i i =εε+∞→≠0 ，则称此方法关于根α具有P阶收敛速度。

C 称为渐近误差常数，渐近误差常数C 与f(x)有关。

C ≠0保证了P 的唯一性。

对于特殊的函数，C 可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。

一般情况下，P 越大，收敛就越快。

当P=1时，我们称为线性收敛。

P>1，称为超线性收敛。

P=2，称为平方收敛。

5.牛顿迭代法：)x (f )x (f x x k k k 1k '-=+定理3：如果方程f(x)=0的根α是单根，且在α的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton 迭代法必是局部收敛的 且 )(f 2)(f lim2i1i i α'α''-=εε+∞→（即具有二阶收敛速度）定理4：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r 阶连续导数，则Newton 法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。

定理5：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r+2阶连续导数，则修正Newton 迭代公式：)x (f )x (f r x x i i i 1i '⋅-=+，具有局部收敛性，且具有二阶收敛速度。

定理6：设f(x)在f(x)=0的有根区间[a,b]上二阶导数存在，且满足：（1）f(a) f(b)<0； （2）)x (f ),x (f '''在[a,b]中不变号。

则对[a,b]任一使f "(x)f(x)>0的点0x ，都能使Newton 迭代法：)x (f )x (f x x k k k 1k '-=+ 得到的序列{}k x 收敛到方程f(x)=0唯一的根α。

6.弦割法：)x x ()x (f )x (f )x (f x x 1i i 1i i i i 1i --+---=定理７：设f(x),f '(x),f "(x)在包含f(x)=0的根α的某区间上连续，且α是其单根，则如果初始值0x 和1x 选得充分接近α，由（2—12）产生的迭代序列收敛于α，收敛的阶是251p +=，且 11||()lim ||2()p i p i if f εαεα-+→∞''='第三章 插值法1.定义：设f(x)为定义在[a,b]上的函数，n 10x ,,x ,x 为［a,b ］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：n ,,2,1,0i ),x (f )x (y i i == (3—１)， 则称y(x)为f(x)关于节点n 10x ,,x ,x 在Ｙ上的插值函数，点n 10x ,,x ,x 称为插值节点,f(x)称为被插值函数。

包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。

2. 定理：设)x (M n 表示次数不超过n 次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝)x (M n 的插值多项y(x)存在且唯一。

3. Lagrange 插值多项式：∑==nj jj)x (l )x (f )x (y⎩⎨⎧≠==jk 0j k 1)x (l k j )x x ()x x )(x x ()x x )(x x ()x x ()x x )(x x ()x x )(x x ()x (l n j 1j j 1j j 1j 0j n 1j 1j 10j ----------=+-+-)x x ()x x ()x x )(x x ()x (i ni n 101n -∏=---=π=+ ，定理２：设f(x)在［a,b ］上存在n 阶连续导数，在（a,b ）上存在n+1阶导数，)x (L n 是满足条件（3－１）属于)x (M n 插值多项式，则对任何)b ,a (x ∈，插值余项为：)x ()!1n ()(f )x (R 1n )1n (n ++π+ε=，其中)b ,a (∈ε，且依赖于x ，)x x ()x (j nj 1n -∏=π=+推论：满足条件(3—3)的Lagrange 插值基函数：)n ,,1,0j (),x (l j =，有如下性质：（1）∑=≡n0j kj k j x )x (l x ，(k=0,1,…,n)，特别∑==nj j 1)x (l（2）∑==-nj j k j0)x (l )x x(（k=1,…,n ）4. 差商（均差）与Newton 插值法=]x ,,x ,x [f k 10 0k k 10k 21x x ]x ,,x ,x [f ]x ,,x ,x [f -- 为f(x)关于节点k 10x ,,x ,x 的k阶差商。

性质1：)x (f )x x(1]x ,,x ,x [f j kj i jji k 10∑=≠-∏=性质2：如果k 10i ,,i ,i 是0，1，2，…，k 的一个排列，则]x ,,x ,x [f ik 1i 0i =]x ,,x ,x [f k 10 性质3：Newton 插值多项式的余项为R(x)=f(x)-)x (N n =)x (]x ,x ,,x ,x [f 1n n 10+π 性质4：如果f(x)有n 阶导数，则!n )(f ]x ,,x ,x [f )n (n 10ε=5.差分及插值公式：见教材P31.6.Hermite 插值多项式：用Hermite 插值多项式去替代f(x)产生的误差为：R(x)=f(x)-H(x)。

如f(x)在(a,b)中有n+r+2阶导数时，误差可写成如下形式)(f )!2r n ()x ()x ()x (R )2r n (1r 1n ε++ππ=++++，其中ε∈（a,b ） 7.三次样条插值定义：如果函数S(x)在[a ，b]区间满足： (1) S (x)在[a ，b]上具有二阶连续导数。

(2) 对［a ，b ］上的划分b x x x a n 10=<<<= ,S(x)在每一个区间]x ,x [1i i +上， S(x)是一个不高于３次的多项式，(i=0,1,…,n-1)。

则我们称S(x)是关于划分b x x x a n 10=<<<= 的一个三次样条函数。

三次样条插值唯一性的条件：（1）第一边界条件：)b (f )b (S ),a (f )a (S '=''='（2）第二边界条件：)b (f )b (S ),a (f )a (S ''=''''=''。

特别0)b (S ,0)a (S =''=''称为自然边界条件。

（3）第三边界条件（周期条件）：当f(x)是以b-a 为周期函数时，再增加边界条件：2,1,0k )0b (S )0a (S )k ()k (=-=+第四章 函数逼近与曲线拟合1.权函数定义：设[a,b]是有限区间或无限区间，在[a,b]上的非负函数()x ρ满足条件：(1)()bk ax x dx ρ⎰存在且有限（k=0,1,），(2) 对[a,b]上的非负函数 g(x)，如果()()0bag x x dx ρ=⎰，则()0g x ≡，则称()x ρ为权函数2. 最佳平方逼近：22()min ()()s x f x s x ∈Φ- ，0011()()()()n n s x a x a x a x φφφ=+++定理4 设()[]()()()01,,,,,n f x a b x x x φφφ∈C 是[],a b C 中的线性无关的函数系，{}01(),(),,()n span x x x φφφΦ=，则① 22()min ()()s x f x s x ∈Φ- 存在且唯一。

② 最优解为0011()()()()n n s x a x a x a x φφφ****=+++ （2-2）其中01,,,n a a a ***是下面方程组（称之为正规方程组）的解：0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n a f a f a f φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2-3） 这里(,),(,)i j i f φφφ是函数的内积 。

2222()()f x s x δ*-=2222()()f x s x *-3.最小二乘曲线拟合：()2()0min()()miiis x i w f x s x ∈Φ=-∑定理5 设01(),(),,()m f x f x f x 已知，这里不妨设01m x x x <<<，01(),(),,()n x x x φφφ是在[]0,m x x 上给定的的函数系，则① 22()min s x f s ∈Φ-的解存在。

② 最优解为0011()()()()n n s x a x a x a x φφφ****=+++ （3-3）其中01,,,n a a a ***是下面方程组（称之为正规方程组）的解：0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n a f a f a f φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3-4） 如果（3-4）中的系数矩阵为非奇异，则（3-2）的解唯一。