第三章 插值法与数值逼近
1）Lagrange插值：， 余项： 2）Newton插值：差商表
余项 3）反插值 4）Hermite插值（待定系数法）
其中 余项： 5）分段线性插值： 插值基函数： 余项：分段余项 6）有理逼近：反差商表 有理逼近函数式： 7）正交多项式的计算： 定理：在上带权函数的正交多项式序列，若最高项系数唯一，它便是唯 一的，且由以下的递推公式确定
5）单步法（*） 相容性：则（*）式与初值问题相容 收敛性：对于固定的当时有则称（*）式收敛 数值稳定性：若一数值方法在上有扰动而于以后的各节点值上产生的偏 差均不超过，则称该方法绝对收敛 试验方程：用以求解绝对稳定区间 绝对收敛：用单步法求解试验方程，若绝对收敛则称该方法绝对稳定 6）线性多步法德一般格式： 局部阶段误差（系数通过Taylor展开构造） 其中 线性多步法的阶数通过误差系数来判断，最高阶数 7）线性多步法的收敛性判断：称线性多步法相容 满足根条件：第一特征多项式，
Gauss-Jordan消元法（对角阵）：； 列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对 角线主元位置；（可用于求逆矩阵） 全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至 其处于对角线主元位置； 4）三角分解法： ①：Doolittle分解法：A=LU，L单位下三角阵，U上三角阵 ②：Crout分解法：A=LU，L下三角阵，U单位上三角阵 ③：Cholesky分解法：A对称正定，，L为单位下三角阵
10）拟Newton法 其中 11）秩1拟Newton法： Broyden秩1方法
第二章 线性代数方程组数值解法
1）向量范数： ①：非负性：，且的充要条件是； ②：齐次性： ③：三角不等式： 1范数： 2范数： 范数： p范数： 2）矩阵范数： ①：非负性：，且的充要条件是； ②：齐次性： ③：三角不：，行和最大 2范数：，其中，为的特征值， 3）Gauss消元法（上三角阵）：；
第二特征多项式 当第一特征多项式所有根的模均不大于1，且模为1的根均是单根，称满 足根条件 收敛相容且满足根条件 8）数值稳定性判断： 稳定多项式（特征多项式） 令，是稳定多项式的根， ①：若对任意有，且当时，为单根，则称为相对稳定区间； ②：若对任意有，则称为绝对稳定区间
第六章 常微分方程的数值解法（差分
法）
1）离散化方法：Taylor展开、差商代替求导、数值积分 2）Euler公式： Euler隐式（1阶） 改进的Euler公式（2阶精确解） 3）截断误差和P阶精确解：截断误差 4）S级Runge-Kuta法
2级Runge-Kuta法 （2阶精度） 的取值1/2（中点公式）、2/3（Heun公式）、1（改进的Euler方法）
其中 定理3.8 8）连续函数的最佳平方逼近：在上，法方程为， 其中， 均方误差： 最大误差： 9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）： 法方程 其中
第四章 数值积分
1）代数精度的概念及应用：对r次多项式的精确成立，以及代入法求解 系数。 2）Lagrange插值代入 Lagrange插值基函数 ，其中 误差： 定理：数值积分公式具至少有n次代数精度其是差值型的 3）等距节点的Newton-Cotes公式 将拉格朗日差值积分公式中的差值节点即可，其中； ，令（Cotes系数）则： N-C公式的数值稳定性：当同号时是稳定的，否则不稳定，（其中）
N-C公式至少具有n次代数精度，若n为偶数，则其代数精度可提高到 n+1次； 余项： 当n为偶数时， 当n为奇数时， 4）复化的N-C公式 复化的梯形公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用梯形公式 复化的Simpson公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用 Simpson公式 5）Romberg积分法 逼近的阶为
对于区间[a,b]上的Gauss求积公式，令，，则： 余项：
第五章 乘幂法
1）基本定理： 定理一：若为A的特征值，为某一多项式，则矩阵的特征值是。特别 地，的特征值是。 定理二：如果A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，且存在n个 线性无关的特征向量；不同特征值所对应的特征向量正交。 定理三：设A与B为相似矩阵，即存在非奇异阵P，使，则A与B有相同
的特征值。 定理四：如果A有n个不同的特征值，则存在一个相似变换矩阵P，使 得，其中D是一个对角矩阵，它的对角线元素就是A的特征值。 定理五：对于任意方阵A，存在一个酉变矩阵Q，使得，其中T是一个上 三角矩阵，是是共轭转置矩阵。 推论：如果A是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵Q，使，其中D是对角 矩阵，它的对角线元素是A的特征值，而Q的各列即为A的特征向量，并 且。 定理六：设是以为中心的一些圆，其半径为，设，则A的所有特征值都 位于区域内。 推论：的谱半径满足。 定理七：设A为对称正定阵，则有，，其中，x是任意复向量，表示x的 共轭转置。 定理八：对任意非奇异矩阵A，有，其中为A的任一特征值。 2）求按模最大的特征值和对应的特征向量 ， 3）
第一章 非线性方程和方程组的数值解
法
1）二分法的基本原理，误差： 2）迭代法收敛阶：，若则要求 3）单点迭代收敛定理： 定理一：若当时，且，，则迭代格式收敛于唯一的根； 定理二：设满足：①时，， ② 则对任意初值迭代收敛，且： 定理三：设在的邻域内具有连续的一阶导数，且，则迭代格式具有局部 收敛性； 定理四：假设在根的邻域内充分可导，则迭代格式是P阶收敛的 （Taylor展开证明） 4）Newton迭代法：，平方收敛 5）Newton迭代法收敛定理： 设在有根区间上有二阶导数，且满足： ①：； ②：； ③： ④：初值使得； 则Newton迭代法收敛于根。 6）多点迭代法： 收敛阶： 7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改 ①：已知根的重数r，（平方收敛） ②：未知根的重数：，为的重根，则为的单根。 8）迭代加速收敛方法： 当不动点迭代函数在的某个邻域内具有二阶导数，平方收敛 9）确定根的重数：当Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根
④：改进的Cholesky分解法：A对称正定，，L为单位下三角阵，D为对 角阵 ⑤：追赶法：Crout分解法解三对角方程 5）矩阵的条件数，谱条件数： 6）如果，则为非奇异阵，且 7）迭代法基本原理： ①：迭代法： ②：(，迭代格式收敛) ③：至少存在一种矩阵的从属范数，使 8）Jacobi迭代： 9）Gauss-Seidel迭代： 10）超松弛迭代法 11）二次函数的一维搜索： 12）最速下降法： 选择方向 进行一维搜索：，其中 13）共轭梯度法： 第一步：最速下降法，，， 第二步：过选择的共轭方向，其中，过以为方向的共轭直线为，进行二 次函数的一维搜索 14）一般的共轭梯度法：
6）求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度<=2n+1； 7）Gauss求积公式 在[a，b]上与所有次数<=n的多项式带权正交上式为Gauss求积公式、 8）Gauss-Legendre求积公式 给出公式：、、······ 给出区间[1,-1]上的求积公式，取的零点为求积节点
1 取零点为0
2 取零点为