重因式. 的 k 重因式.
§1.6 重因式
推论1 推论 若不可约多项 p( x )是 f ( x )的 k 重因式 ( k ≥ 1) ,
p( x )是 f ( x ), f ′( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f ( k −1) ( x ) 的因式，但不是 则 的因式， f (k ) ( x) 的因式. 的因式
说明： 说明： 重因式都是不可约多项式，所以和系数域有关. 重因式都是不可约多项式，所以和系数域有关
§1.6 重因式
二、重因式的判别和求法
1. 若 f ( x ) 的标准分解式为： 的标准分解式为：
f ( x ) = cp r1 1 ( x ) p r2 1 ( x ) ⋅ ⋅ ⋅ p rs s ( x )
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§1.6 重因式
作业
P45 16（1） （ ） 17 21 26
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§1.6 重因式
∴ f ′( x ) = p k −1 ( x ) ( kg ( x ) p′( x ) + p( x ) g′( x ) )
⇒ p k −1 ( x ) | f ′ ( x ) .
§1.6 重因式
令 h( x ) = kg ( x ) p′( x ) + p( x ) g′( x ) ,
Q p( x ) | g( x )且 p( x ) | p′( x ) ,
∴ p( x ) | kg ( x ) p′( x ) , ⇒ p( x ) | h( x )
⇒ p k ( x ) | f ′( x )
∴ p( x ) 是 f ′( x ) 的 k − 1重因式
注意 定理6的逆命题不成立， 定理6的逆命题不成立，即
p( x ) 为 f ′( x ) 的 k − 1 重因式，但 p( x )未必是 f ( x ) 重因式，
一、k 重因式 二、重因式的判别和求法 三、重因式因素
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一、k 重因式
定义 设 p( x )为数域 的不可约多项式，f ( x ) ∈ P[x ] , 为数域P的不可约多项式 的不可约多项式，
§1.6 重因式
2. 定理 定理6
若不可约多项式 p( x ) 是 f ( x ) 的 k 重因式 ( k ≥ 1 ), 重因式. 则它是 f ( x )的微商 f ′( x ) 的 k − 1重因式
证: 假设 f ( x ) 可分解为
f ( x ) = pk ( x ) g( x ) ,
其中 p( x ) | g ( x ) .
推论2 推论 不可约多项式 p( x )是 f ( x )的重因式
⇔ p( x ) 是 f ( x ) 与 f ′( x ) 的公因式 的公因式.
§1.6 重因式
注 不可约多项式 p( x )为 f ( x ) 的 k ( k ≥ 2) 重因式
⇔ p( x ) 是 f ( x ) 与 f ′( x ) 的公因式，且 的公因式， p( x ) 为 f ′( x ) 的 k − 1 重因式. 重因式.
则 pi ( x ) 为 f ( x ) 的 ri重因式 . i = 1,2, ⋅ ⋅ ⋅ s
ri = 1 时， pi ( x ) 为单因式 ; ri > 1 时, pi ( x ) 为重因式 .
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p k ( x ) | f ( x ) ，但 p k + 1 ( x ) | f ( x ) , 若
重因式. 则称 p( x ) 为 f ( x )的 k 重因式 重因式. 若 k >1, 则称 p( x ) 为 f ( x ) 的重因式 单因式. 若 k ＝1, 则称 p( x ) 为 f ( x ) 的单因式 （若 k =0， p( x ) 不是 f ( x ) 的因式) =0， 的因式)
⇔ p( x )为 ( f ( x ), f ′( x )) 的 k − 1 重因式. 重因式.
f ( x ) ∈ P[x ] ，若 ( f ( x ), f ′( x )) = p1r1 ( x ) ⋅ ⋅ ⋅ ps rs ( x ) ,
为不可约多项式， 其中 pi ( x ) 为不可约多项式， 则 pi ( x ) 为 f ( x ) 重因式. 的 ri + 1 重因式.
§1.6 重因式
推论3 推论 多项式 f ( x )没有重因式 ⇔ ( f ( x ), f ′( x )) = 1 . 说明 根据推论2、 可用辗转相除法 可用辗转相除法， 根据推论 、3可用辗转相除法，求出 ( f ( x ), f ′( x )) 是否有重因式． 来判别 f ( x )是否有重因式．若有重因式 ，还可由 ( f ( x ), f ′( x )) 的结果写出来 的结果写出来. 有无重因式. 例1. 判别多项式 f ( x ) 有无重因式
f ( x ) = x − 10 x − 20 x − 15 x − 4
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§1.6 重因式
三、重因式分离
f ( x) f ( x ) 与 ( f ( x ), f ′( x ))有完全相同的不可约因式， 有完全相同的不可约因式， f ( x) 的因式皆为单因式. 且 ′( x )) 的因式皆为单因式 ( f ( x ), f