k −1= k/ −1，即 k = k/ ，所以 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式. 重因式.
□
有无重因式.若有 若有,求出其重 例1. 判别多项式 f ( x ) 有无重因式 若有 求出其重 因式. 因式
f ( x ) = x 5 − 10 x 3 − 20 x 2 − 15 x − 4
k −1重因式. 重因式.
□
3
(推论 1)
, p(x)是 f (x)的 k(≥1)重因式 ⇒ p(x)是 f (x), f / (x), ⋯ 是 的 ( 是
f (k−1) (x) 的因式，但不是 f (k) (x) 的因式. 因式， 的因式.
证明： 据定理 6，p(x) 是 f / (x) 的 k −1重因式， f // (x) 的 k − 2 重因式， 证明： 因式， 因式，
( pk (x)g(x))/ = pk−1(x)(kg(x) p/ (x) + p(x)g/ (x)) → pk−1(x)| f / (x) .
令 h(x) = kg(x) p/ (x) + p(x)g/ (x) → p(x)| p(x)g/ (x), 但是
p(x)|kg(x) p/ (x) → p(x)|h(x) → pk (x)| f / (x) ，即 p(x)是 f / (x) 的
一、k 重因式 二、重因式的判别和求法
一、k 重因式
p(x)称为f (x)的k重因式，是指 重因式， p(x)不可约; pk(x)| f (x), 而 pk+1 (x) 不可约; 不能整除f (x).
定义9 定义9 注：⑴ k = 0, p(x) 非 f (x) 的因式； 的因式； ⑵k = 1, ⑶k＞1, k
显然成立） 证明： 证明： ⇒ 即定理 6 （ p| f 显然成立）.
定 6 ⇒ p| f → 若 p(x) 是 f (x) 单 式 理 p(x) 非 f / (x) 因 →
的因式， 与题设矛盾, 故 p(x) 是 f (x) 的重因式， 重因式， 的因式， 与题设矛盾, 不妨设 p(x) 是 f (x) 的 k/ 重因式 → 据题设， p(x) 是 f / (x) 的 k/ －1 重因式 → 再由题设得 据题设，
重因式， 重因式，这与题设矛盾 → ( f (x), f / (x)) =1.
⇐ ( f (x), f / (x)) =1 → f (x), f / (x) 无公因式是不可约多项式
推 2 论 f (x) 无重因式. → 无重因式.
□
该性质的逆否命题： 该性质的逆否命题： f (x) 有重因式 ⇔ ( f (x), f / (x)) ≠1. 说明， 有无重因式， 推论 3 说明， 判别 f (x) 有无重因式， 可通过求最大公因式 辗 （ 转相除）来判定，进而说明，重因式与系数域的变化无关. 转相除）来判定，进而说明，重因式与系数域的变化无关.
f 不可约因式的有效方法 的有效方法， 的不可约因式的有效方法，g(x) = 的次数显然比 f (x) 的次 / (f, f )
数要低，其不可约因式便于计算. 例1 数要低，其不可约因式便于计算. 一般讲， 的逆不成立. 例如: 一般讲，定理 6 的逆不成立. 例如: 取 f (x) =
1 (x −1 k +1， ) k
2）（定理 6） p(x)是 f (x)的 k(≥1)重因式 ⇒ p(x)是 f / (x) 的 k −1重 是 的 ( 是 因式，特别：当 p(x)是 f (x)的单因式 ⇒ p(x)非 f / (x) 的因式. 因式，特别： 是 的单因式 非 因式. 证明： 证明： 据题设 → f (x) = pk (x)g(x), p(x)| g(x) → f / (x) =
5
(推论 3) f (x) 无公因式
⇔ ( f (x), f / (x)) =1.
定 证明： 证明： ⇒ 假 ( f (x), f / (x)) = d(x) ≠1 → ∂d ≥1，即存在不可约多
推 2 p 的 因 → 项式 p(x)| d(x), 即 (x)是 f (x), f / (x) 公 式 论 p(x)是 f (x)的 是 的
r r r r 定 6 f = apr1 p22 ⋯pss 理 ( f , f / )= pr1−1 p22 −1⋯pss −1 → → 1 1
f = ap p2 ⋯ps 是无重因式的多项式， 无重因式的多项式， 但与 f (x) 有完全相 1 / (f, f )
同的不可约因式 这里实际上给出了去掉因式重数 给出了去掉因式重数, 同的不可约因式 → 这里实际上给出了去掉因式重数,计算 f (x)
二、重因式的判别和求法பைடு நூலகம்
1.定义 1.定义 设 f(x) = anxn + an－1xn－1 + ··· + a1x1 + a0 , 规 定f /(x) = nanxn－1 + (n－1)an－1xn－2 + ··· + 2a2x + a1 为 f(x) 的一阶微商 一阶微商（导数），f /(x)的微商(f /(x))/ = f //(x) 一阶微商 为f(x) 的二阶微商 二阶微商等，f(x) 的k阶微商 阶微商记为f (k)(x) . 二阶微商 阶微商 简单性质: 简单性质 1) (f + g)/ = f / + g / ； (cf ) / = cf / ； (fg)/ = f /g + fg / ； (f m(x))/ = m(f m－1(x)f /(x). 如上定义仅是一种形式的定义，并未赋予微商具体 的，如同“数学分析”类似的意义. 又f (k)(x) ≠f k(x) . ∂f = n, 则有 ∂f / = n－1；∂ (f (n)) = 0；f (n+1) = 0. 例 f(x) = 3x4－5x3＋2x－1，f /(x) = 12x3－15x2＋2 .
p(x) 是 f (x) 的单因式； 的单因式； p(x) 是 f (x) 的重因式.
r1 r2 rs
) ⑷设f (x)典型分解为 f ( x ) = cp 1 ( x ) p 2 ( x ) 鬃 p s ( x, 重因式( 1,为单因式 为单因式， 则pi是f (x) 的 ri重因式(ri = 1,为单因式，ri ＞1, 1,2,…,s. 为重因式), 为重因式),i = 1,2, ,s.
f (3) (x) 的 k −3重因式，…， f (k−1) (x) 的 k −(k −1 =1重因式, f (k) (x) ) 因式， 重因式,
重因式，即结论成立. 的 k − k = 0 重因式，即结论成立. 4 (推论 2) p(x)是 f (x)的重因式 是 的
⇔
□ p(x)是 f (x), f / (x) 的公因式. 是 因式.
) 重因式， 则 p(x) = x −1是 f (x) = (x −1 k−1 的k −1重因式， 但非 f (x) 的
何条件下成立？ 因式 → 何条件下成立？
补充命题 命题） 3 （定理 6 补充命题）
p| f ； p(x)是 f (x)的 k 重因式 ⇔ 是 的 p(x) 是 f / (x)的k −1重 式 因 .
证明： 证明： ⇒ p(x)是 f (x)的重因式 → p(x)是 f / (x) 的因式 → p | f , f / , 是 的 是 因式. 即 p(x)是 f (x), f / (x) 的公因式. 是
⇐ p(x)是 f (x), f / (x) 的公因式 → 是
p(x)必定不是 f (x)的单因式（否则将推出 p(x)不是 f / (x) 的因式，出现 必定不是 因式， 必定不 的 因式（否则将推出 不 矛盾） 矛盾）→ p(x)是 f (x)的重因式. 是 的重因式. □