（2.1）
上式中，a1, a2 ,L
an1 , an , c0 , c1,L cm 为常数。
(2). 传递函数
对式（2.1）等号两边逐项进行拉氏变换，并考虑系统输出、 输入及其各阶导数的初值均为零，可得到
s nY ( s) a1s n 1Y ( s) a2 s n 2Y ( s) L anY ( s) c0 s U ( s) c1s U (s) c2 s
写出各个状态变量的一阶微分方程形式
& x 1 x2 & x 2 x3 & x 3 x4 M & x n 1 xn & x n a1 xn a2 xn 1 L an 1 x2 an x1 u
将上述n个一阶微分方程写成矩阵向量形式为
& Ax Bu x y Cx
①对上式两边取拉氏变换
sX (s) x(0) AX (s) BU (s)
Y (s) CX ( s)
& ax u x y x
从上面得到由系统结构图到状态变量图并到处状态空间表达式 的步骤如下： ① 根据系统的传递函数，画出系统结构图，n阶系统有n个积分 器； ② 把积分器输出处定为状态变量x，积分器输入处为状态变量微 &，并把状态变量x，和状态变量 x &微分分别标在积分器输 分x 入和输出处，得到状态变量图； ③ 根据积分器输入、输出的方程写出系统的状态方程和输出方 程。 对于高阶、复杂系统采用级联法、并联法和串联法得到代表实际 系统传递函数的系统结构图及相应的状态变量图，依据同样方法 求得状态空间表达式。
其中，
0 0 1 A 0 0 1 0 12 7
B 0 0 1
1
C 2 3 1
分析系数矩阵A、B、C可见： 系数矩阵A是一个方阵，以I表示行号，J表示列号，最末一行 元素和传递函数分母多项式系数按s0升幂排列的负值一一对 应，其余各行的元素在J=I+1时为1，其他全部为0；
y(s)
u (s) x
1 s
y(s) x
图2-1 积分器的系统结构图和状态变量图
由状态变量图根据积分器的输入、输出关系写出：
& u 状态方程 x
输出方程 y x
对于带反馈的积分器，其传递函数为
G (s) 1 sa
u (s)

x
1 s
y(s) x
a
图2-2 带反馈积分器的状态变量图
由积分器输入、输出关系得到
（1）微分方程转化为传递函数和状态空间表达式 例2.1 已知某控制系统的微分方程为
d2y dy du 2.5 6 y 2 10u 2 dt dt dt
将其分别表示为传递函数、一阶微分方程组和状态空间描述。
解： ①将给定系统微分方程的两端取拉氏变换，并令初始值为零， 则可用以下传递函数表示
x1 x y 8 5 1 2 x3
②将上述矩阵展开即可得到系统模型的一阶微分方程组表示 形式
& x 1 x2 x & 2 x3 & 3 3 x1 4 x2 2 x3 u x y 8 x1 5 x2 x3
上式称为状态空间表达式，其中
0 0 0 A an 1 0 0 an 1 0 1 0 an 2 0 0 1 0 0 0 a2 0 0 0 1 a1
(2.5)
B1 B 2 B Bn 1 Bn
第2章 连续系统数字仿真的 基本算法
2.1 连续系统数学模型 2.2 数值积分算法 2.3 数值积分算法的基本分析 2.4 连续系统仿真的离散相似算法 2.5 常用快速数字仿真算法 2.6 实时数字仿真算法 小结
2.1连续系统数学模型
2.1 .1表达形式
描述控制系统的主要模型有微分方程、状态空间表达式等形 式的时域描述法和用传递函数描述的频域描述法。即对于一 个连续的控制系统，数字仿真常用的数学模型一般有3种表示 方式： ◆直接用微分方程描述； ◆用传递函数描述；
多项式形式 零极点形式
◆状态方程描述； 这三种描述方式是可以相互转换的。
(1). 微分方程 设连续系统的输出量为y(t)，输入量为u(t) ，采用微分方程的 形式来表示的系统数学模型一般式可描述如下：
dny d n 1 y d n2 y dy a a ... a an y 1 2 n 1 n n 1 n2 dt dt dt dt d mu d mu c0 m c1 m ... cmu dt dt
x1 x 2 x xn 1 x n
A、B、C为系数矩阵，x为状态变量。
2.1.2. 数学模型的相互转换
由于要解决的控制问题所需的数学模型与所给定的已知数学 模型往往是不一致的，不同的应用场合需要对控制系统的数 学模型进行转换
x1 y 10 2 x2
（2）传递函数转换成状态空间表达式 转换采用的方法是状态变量图法 ，用基本模拟单元替代系统 的传递函数得到的图形式系统结构图，在系统结构图上标上 状态变量的图形是状态变量图，然后再求出状态空间表达式。 对于初始条件为零的积分器
u (s)
1 s
(2.3)
微分方程或传递函数是用系统的输入、输出之间的关系来描 述系统的，表示了系统的外部特征，所以称其为外部模型。
用微分方程表示的系统可以是非线性或线性系统，而对于传 递函数表示的系统，只适用于单输入-单输出的线性定常系 统，所以传递函数的模型表示有一定的局限性。
(3). 状态空间表达式 状态空间表达式可以由两个途径获得，由微分方程或系统 结构方框图导出，这里对微分方程推导作简单说明。 设系统由不含输入量导数项的n阶微分方程表示：
dny d n 1 y d n2 y dy a1 n 1 a2 n 2 L an1 an y u n dt dt dt dt
(2.4)
定义n个状态变量为 x1 , x2 ,L , xn ，且令
x1 y dy dt d2y & x3 x 2 dt 2 M & x2 x 1 d n 1 y & xn x n 1 dt n 1
y x1 x2 x3
其中
0 0 0 A 0 3 0 0 0 4
1 B 6 2 3 3 2
1
0 0 1 A 0 0 1 0 12 7
B 0 0 1
1
C 1 1 1
C 2 3 1
& x 1 x2 & x 2 x3 x 3 12 x2 7 x3 u &
3
u (s)

x3
1 s
7
x3
x2
1 s
x2
x1
1 s
x1
2

y(s)
y 2 x1 3x2 x3
◆写成矩阵表达式
& Ax Bu x y = Cx
12
A、B、C为系数矩阵
（Ⅱ）并联法 并联法的思路是把高阶系统的传递函数转变成若干个一阶环 节传递函数之和，如将式（2-6）表示成下式形式
G (s) 16 23 32 s s3 s4
1 6 2 3
x1
1 s
x1
然后，对各个一阶环节的 传递函数画出系统结构图， 并标上状态变量后，得到 如图2-5所示的状态变量图。
系数矩阵B是一个单列矩阵，最后一行元素为1，其余为零；
系数矩阵C是一个单行矩阵，各列元素与传递函数分子多项 式系数按s0升幂排列值相同。
推广到n阶方程，系数矩阵 A、B、C分别为
1 0 0 0 A M M 0 0 an an 1 0 1 M 0 an 2
0 0 0 L 0 C cn1 cn2 M M B M 0 L 1 1 n1 L a1 nn
L
c0 1n (2.7)
这种形式的矩阵称为可控标准型状态表达式。
例2.2已知某控制系统的传递函数为
u (s)

x2
1 s
3
x2

y(s)
3 2

x3
1 s
4
x3
图2.5 并联法系统状态变量图
由图2-5可到状态空间表达式为
& u x1 6 2 & u 3 x2 x 2 3 3 & x 3 2 u 4 x3
写成矩阵表达式
& Ax Bu x y = Cx
1
u (s)

1 s
7

1 s
3

1 s
2
y(s)
12
1 3 2 2 3 s s s G( s) 7 12 1 2 s s
图2-3 系统信号流图
3
u (s)

x3
1 s
7
x3
x2
1 s
x2
x1
1 s
x1
2

y(s)
12
图2-4 系统状态变量图
◆根据积分器输入、输出关系得到如下方程
m m 1 m2
U (s) L cnU (s)
（2.2）
式中，
Y ( s) -系统输出的换；
可得系统的传递函数为：
Y (s) c0 s m c1s m1 c2 s m2 L cn G( s ) n U ( s) s a1s n1 a2 s n2 L an
& x 1 x2 & x 2 6 x1 2.5 x2 u y 10 x 2 x 1 2