非齐次线性方程组同解的讨论
摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解.
关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间
引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。

下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出
11121121222212n n m m mn m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 令 A= 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，b= 12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

即非齐次线性方程组可写成Ax b =。

一 、线性方程组同解的性质
引理 1 如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等.
证明 设非齐次线性方程组Ax b =的导出组的基础解系为111,,,r ξξξ ，其中1
r 为矩阵[]A b 的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d 的导出组的基础解系为
2
12,,,r ηηη ，其中2r 为矩阵[]B d 的秩，如果*η是非齐次线性方程组Ax=b 与Bx=d 特解，由于这两个方程组同解，所以向量组1*11,,,,r ξξξη 与向量组2*12,,,,r ηηηη 等价。

从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有12,r r =则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等.
引理[1]2 设A 、B 为m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充
要条件是存在可逆矩阵P 使得PA B =.
证明 充分性显然成立。

必要性 设0Ax =与0Bx =的同解空间为V ，由文献[2]得A 的行向量与B 的行向量生成的子空间相同,都是V 的正交补空间.所以A 的行向量与B 的行向量可相互线性表出,即存在矩阵C,使得CA B =且秩A=秩B.
即存在可逆矩阵P 使得PA B =.
引理3设A 、B 为m n ⨯矩阵，则非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =有解且同解，则它们的导出组0Ax =与0Bx =同解。

证明 设ξ为0Ax =的解，η为Ax b =的一个特解。

则由非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解及线性方程组的性质可知η为Bx d =的一个特解，ξη+为Ax b =与Bx d =的解。

所以()ξξηη=+-是0Bx =的解。

反之设ξ为0Bx =的解，同样可以证明，ξ为0Ax =的解。

所以0Ax =与0Bx =同解。

由引理2与引理3可以得到下面的定理：
定理1设A 、B 为m n ⨯矩阵，则非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =都有解，则它们同解的充要条件是存在可逆矩阵P 使得PA B =，Pb d =。

证明 充分性显然成立。

必要性 设Ax b =与Bx d =同解，由引理3得，0Ax =与0Bx =同解。

又由引理2可知存在可逆矩阵P 使得PA B =.
设ξ为Ax b =与Bx d =的解。

即
,A a B d ξξ==
从而
Pa PA B d ξξ===
所以结论成立。

如果我们把上面的结论加以改进便得到更一般的结论：
情况1 设非齐次线性方程组
Ax b =和Bx d = （1） 式中A 、B 都为m n ⨯矩阵，b 与d 为m 维列向量，x 为n 维列向量。

定理[3]2 非齐次线性方程组Ax b =和Bx d =同解的充分必要条件是存在可逆矩阵m m W ⨯使得
[][]A b W B d = （2） 证明 充分性 如果存在可逆矩阵m m W ⨯使得（2）式成立，则对Bx d =的任意解0x ，
有
[]0001x Bx d B d ⎡⎤=⇔=⎢⎥-⎣⎦
所以
[][]0
00011x x B d A b Ax b ⎡⎤⎡⎤=⇔=⇔=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
故0x 是0Ax b =的一个解。

反之对Ax b =的任意解1x ，把（2）式改写为
[][]1W A b B d -=
（3）。