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第四节 线性方程组解的判定
从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解.
11112211211222221122n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=
⎩ (13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。

线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。

因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。

方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即
11121121
222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列
的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,12m b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212
n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
即 AX=b
2 /
3 如果令112111m a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,122222m a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,…，12n n n mn a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则方程组(13-2）的向量形式为1122n n a x a x a x b +++=
定理1 (有解判定定理)方程级（13-2）有解的充分必要条件是：秩(A)=秩（A ）
推论1 线性方程组(13—2）有惟一的充分必要条件是r （A ）=r(A ）=n 。

推论2 线性方程组（13-2）有无穷多解的充分必要条件是r(A ）=r(A ）<n.
例1 判断下列方程组是否有解？若有解,是有惟一解还是有无穷多解？
（1） 1231231
2331334591x x x x x x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩ （2）123123123
31334590x x x x x x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩ (3）123
123
12
331334580x x x x x x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩ 解 （1）113111311131313404610461159104600001A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
所以秩（A ）=3，秩(A ）=2；秩（A)≠秩（A ），故方程组无解。

（2）113111313134046115900000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
秩（A ）=秩（A ）=2〈n （=3），故方程组有无穷多解。

（3)113111313134046115800010A --⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=--→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
秩(A ）=秩(A)=3=n ，故方程组有惟一解。

3 / 3 方程组（13-2）12,,,m b b b 全为零时,称为齐次线性方程组。

即
111122121122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (13-3） 其矩阵形式为AX=0
对齐次线性方程组（13—3）而言，显然，其增广矩阵A 的秩与系数矩阵A 的秩相等,即秩（A ）=秩（A)，由定理1可知它总是有解的。

比如120n x x x ====就是方程组（13—3）的一个解，常称之为零解。

但所关心的是方程组（13—3）在何条件下有非零解.
将推论1及推论2应用到齐次线性方程组(13—3)上,得到以下结论。

推论3 齐次线性方程组（13—3）只有零解的充分必要条件是r(A)=n 。

推论4 齐次线性方程组（13—3)有非零解的充分必要条件是r(A)<n.
例2 试问线性方程组123123123
0200x x x x x x x x x λ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 当λ取何值时有非零解.
解 方程组为齐次线性方程组，对其系数矩阵进行初等变换，化成阶梯形矩阵
12111
112101011001A λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
当λ－1=0,即λ=1时, r （A ）=2<n(=3）,由推论4,该方程组有非零解.
学生板演巩固练习：1。

2.3.4。

总结归纳：通过本节的学习，能对线性方程组解的的情况作出准确判定.
课外作业：习题1。

2。

3。