线性方程组有解的判别定理
推论1-2
如果非齐次线性方程组AX=β中 的方程个数m等于未知数个数n，即 系数矩阵A是一个方阵，那么当|A|≠0 时，方程组AX=β存在唯一解.
证明因为0≤R()≤n，且 n=R(A)≤R()，故R(A)=R()=n.
线性方程组有解的判别定理
推论即为克莱姆法则给出的结论. 因此，一个给定的非齐次线性方程组AX=β解的情况 判别步骤如下：首先，对方程组的增广矩阵进行初等行变 换，将化成行阶梯形矩阵C.然后，观察C的非零行个数 （这个数即为矩阵的秩），是否等于C除去最后一列剩下 的矩阵的非零行个数（这个数即为矩阵A的秩），若这两 个数不相等，则方程组无解；若这两个数相等，不妨设为 r，则方程组有解，且当 r=n时，方程组存在唯一一组解； 当r<n时，方程组存在无穷多组解.
线性方程组有解的 判别定理
线性方程组有解的判别定理
在第三章中，我们将具有m个方程n个未知数的 齐次线性方程组
（4-8）
线性方程组有解的判别定理
写成矩阵形式为 AX=0（4-9
其中
线性方程组有解的判别定理
这里的m×n矩阵A被称为线性方程组（4-8）的 系数矩阵.如果将矩阵A按列分块写成
A=(β1,β2,…,βn) 其中βi=(a1i,a2i,…,ami)T，i=1,2,…,n，那么线性 方程组（4-8）可以改写成向量形式
谢谢聆听
利用矩阵的秩的概念，可以将前 面对齐次方程组解讨论的结果表述为 下面的定律.
线性方程组有解的判别定理
定理4-4
齐次线性方程组有 非零解的判别定理）齐 次线性方程组AX=0有 非零解的充分必要条件 是它的系数矩阵A的秩 R(A)<n.
线性方程组有解的判别定理
推论4-4
如果齐次线性方程组AX=0中的方 程个数m小于未知数个数n，那么方程 组必有非零解.
利用矩阵的秩的概念，可以将上一章关于非齐次线性方程组的结果 表述为下面的定理.
线性方程组有解的判别定理
定理4-5
（非齐次线性方程组有解的判别定理）非齐次线性 方程组AX=β有解的充分必要条件是它的系数矩阵A的 秩与增广矩阵A的秩相等，即R(A)=R(A)，且
(1）当R(A)=R()=n时，方程组存在唯一解. (2）当R(A)=R()<n时，方程组存在无穷多组解. 由于对于一个n阶方阵A，|A|≠0当且仅当R(A)=n， 则有下面的推论.
其中向量表达式只是一种形式的表达. 由向量线性相关性的定义，我们有如下结论.
线性方程组有解的判别定理
定理4-3
齐次线性方程组AX=0有非零解的充 分必要条件是方程组系数矩阵A的列向量 组β1,β2,…,βn是线性相关的.
线性方程组有解的判别定理
推论4-3
齐次线性方程组AX=0只有零解 的充分必要条件是方程组系数矩阵的 列向量组β1,β2,…,βn是线性无关的.
β1x1+β2x2+…+βnxn=0 （4-10）
线性方程组有解的判别定理
在前面我们给出了线性方程组解的概念.一个含有n个 未知数的线性方程组的解是n维向量，因此，我们也将线 性方程组的解称为解向量.为了表述一致，通常也将方程组 的解写成列向量形式.那么一个n维向量α=(c1,c2,…,cn)T是齐 次线性方程组AX=0的解，当且仅当α满足
由于对于一个n阶方阵A，|A|≠0当 且仅当R(A)=n，则有下面的推论.
线性方程组有解的判别定理
推论4-5
如果齐次线性方程组AX=0中的方程个数m等于未知数个数n，即系 数矩阵A是一个方阵，那么方程组AX=0有非零解的充分必要条件是 |A|=0.
上面的结论及求矩阵的秩的方法说明：判断一个给定的形如AX=0的 齐次线性方程组是否有解，首先观察其方程个数m是否小于未知数个数n， 如果m<n，方程组有非零解；否则，对方程组的系数矩阵A进行初等行 变换，将A化成行阶梯形矩阵B，再观察B的非零行个数r（这个数即为矩 阵A的秩），若r<n，则方程组有非零解，而若r=n，则方程组只有零解.