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2.7线性方程组解的情况判定
进行初等行变换，将其化成如下形式的阶 梯形矩阵：
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2.7线性方程组解的情况判定
c11 c12 0 c 22 0 0 0 0 0 0 c1r c2 r crr 0 0 c1n c2 n crn 0 0 d1 d2 dr ，(2.7.1) d r 1 0
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2.7线性方程组解的情况判定
将后 n r 个未知量项移至等号的右端，得
c11 x1 c12 x2 c1r xr d1 c1r 1 xr 1 c1n xn ， c22 x2 c2 r xr d 2 c2 r 1 xr 1 c2 n xn ， crr xr d r crr 1 xr 1 crn xn ，
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2.7线性方程组解的情况判定
用回代的方法，自下而上依次求出 xn ， xn1 ， ， x1 的值．因此，方程组(2.6.1) 有唯一解. (2)如果 r n，则阶梯形矩阵(2.7.1)表 示的方程组为 c11 x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1 ， c22 x2 c2 r xr c2 n xn d 2 ， crr xr crn xn d r ．
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2.7线性方程组解的情况判定
推论2 线性方程组(2.6.1)有无穷多解 的充分必要条件是 r (A) r (A ，B) n． 推论3 齐次线性方程组(2.6.2)只有零 解的充分必要条件是 r ( A) n ． 推论4 齐次线性方程组(2.6.2)有非零 的充分必要条件是 r ( A) n ．
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2.7线性方程组解的情况判定
特别地，当齐次线性方程组(2.6.2)中， 方程个数少于未知量个数 (m n) 时，必有 r ( A) n ．这时方程(2.6.2)一定有非零解.
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11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ28
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2.7线性方程组解的情况判定
例1 判别下列方程组是否有解？若有解， 是有唯一解还是有无穷多解？
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2.7线性方程组解的情况判定
其中 cii 0(i 1,2,r ) ，或
c11 c1s c1n d1 00 c c c d 2k 2s 2n 2 0 0 0 0 c c d rs rn r ．(2.7.2) 0 0 0 0 0 0 d r 1 0 0 0 0 0 0 0 上一页 下一页
x1 2 x2 3x3 11， x1 x2 x3 7， (1) 2 x13x2 x3 6 ， 3x1 x2 2 x3 4 ；
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2.7线性方程组解的情况判定
x1 2 x2 3x3 11 ， x1 x2 2 x3 7 ， (2) 2 x1 3x2 x3 6 ， 3x1 x2 2 x3 5 ； x1 2 x2 3x3 11 ， x1 x2 x3 7 ， (3) 2 x1 3x2 x3 6 ， 3x1 x2 2 x3 5 ．
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2.7线性方程组解的情况判定
2.当 d r 1 0 时，方程组(2.6.1)有解． 并且解有两种情况： (1)如果 r n ，则阶梯形矩阵(2.7.1) 表示的方程组为 c11 x1 c12 x2 c1n xn d1 ， c22 x2 c2 n xn d 2 ， cnn xn d n ．
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2.7线性方程组解的情况判定
由定理2.6.1可知，阶梯形矩阵(2.7.1) 和(2.7.2)所表示的方程组与方程组(2.6.1) 是同解方程组，于是由矩阵(2.7.1)和 (2.7.2)可得方程组(2.7.1)的解的结论:
1.当 d r 1 0时，阶梯形矩阵(2.7.1)和
(2.7.2)所表示的方程组中的第 r 1个方程 “ 0 d r 1 ”是一个矛盾方程，因此，方程 组(2.6.1)无解．
其中 xr 1 ， ，xn 为自由未知量．因此，方程 组(2.6.1)有无穷多解．
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2.7线性方程组解的情况判定
定理2.7.1(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(2.6.1)有解的充分必要条件是其 系数矩阵与增广矩阵的秩相等．即
r (A) r (A, B) ．
推论1 线性方程组(2.6.1)有唯一解的 充分必要条件是 r (A) r (A , B) n ．
2.7线性方程组解的情况判定
用消元法解线性方程组得知，线性方程 组解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无 解．归纳求解过程，实际上就是对方程组 (2.6.1)的增广矩阵
a11 a 21 ( A ，B) am1 a12 a1n b1 a22 a2 n b2 am 2 amn bm