线性方程组有解的判别定理
§3－5 线性方程组有解的判别定理
用向量和矩阵的理论分析讨论线性方程 组是否有解的问题
设非齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a2
1x1
a2
2x2
a2n xn
b2
(2)
as1x1 as2x2 asnxn bs
b2
as1 x1 as2 x2 asn xn bs
中, 如果方程式的个数大于未知元的个数
方程组是否无解？
2.对齐次线性方程组你能得到什么结论？
思考题答案
• 1.方程式的个数不能决定系数矩阵和增 广矩阵的秩，不能由此得到有关解的结 论.
• 2.齐次线性方程组恒有解,当系数矩阵的 秩小于未知元的个数时,线性方程组有无 穷多组解(非零解).
0
dr1
0 0 0 0
当dr1 0 时 R(A) R(A)线性方程组有解； 当dr1 0 时 R(A) R(A)线性方程组没有解。 当R(A) R(A)＝r 时，线性方程组1（ ）独立 方程式的个数为 r，不妨设线性方程组1）（ 同解与线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
量方程
x1 1 x 2 2 x n n ,
则线性方程组有解的充
分必要条件是
向量 可以表示成向量组 线性组合。
，
1
2
，
的
n
记系数矩阵 为
a11 a12 a1n
A
a 21
a
s1
a 22 a 2n
a s 2 a sn
增广矩阵为
a11 a12 a1n b1
A
a 21
a
s1
a 22 a 2n b2
a s 2 a sn bs
用矩阵秩 可以得到
线性方程组有解判断定理：线性方程组有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同，即
R(A)R(A)
证明：必要性
设线性方程组有解，就 有 c1 , c 2 , , c n
使得 c1 1 c 2 2 c n n
所以，向量组
，
12Fra bibliotek,，n
与
向量组
，
，
1
2，，
n
等价，
从而其向量组构成的矩 阵有相同的秩，
即 R （ A）＝ R （ A）；
充分性：
如果 R ( A ) R ( A )，它们的列向量组
2 1 0 1
0 0
0 6 1 1 ; 0 1
性方程组没有解
.
R (A) 2,R (A ) 3
思考题
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
1.线
性
方程组a
21 x1
a22 x2
a2n xn
－4 0
－2 －4 9－
＝（
1－
）2 － －
4
－2 9－
＝（ 1－ ）（ － 1）（ － 10 ）
10 1时，线性方程组有唯一
解;
当 ＝ 1时
A
＝
1 2
2 4
－ 2 － 4
－2 －4
1 1 2 0
4 － 2 0
a21x1 a22x2 a2n xn b2
ar1x1 ar2x2 arn xn br
a11 a1r 其中 0根据Crame法r 则，
ar1 arr 当r n时，线性方程组有解 唯； 一 当r n时，线性方程组可成 改写
a11x1a12x2a1rxr b1a1r1xr1a1nxn a21 x1a22x 2a2r xr b2a2r1xr1a2nxn ar1x1ar2x2arnxr br arr1xr1arnxn
，
1
2 ，
，
与
n
，
1
2 ，
，
，
n
的秩相同，令
R(A) R(A ) r,
不妨设
，
1
2 ，
，
r
是向量组
，
1
2 ，
，
的一个极大线性无关组
n
，
则它也是向量组
，
1
2 ，
,
，
n
的
极大线性无关组，
可由它线性表示
从而
可由
，
1
2 ，
，
线性表示
n
线性方程组有解。
作为 x1,x2,,xr的方程组，xr＋ 任 1， 取xn 方程组1）（都有唯一解，性从方而程线 组的通解n中 r有 个自由未知量。
齐次线性方程组中系数矩阵的秩等于增广 矩阵的秩,所以齐次线性方程组总是有解.
EXAMPLE
（ 2 － ） x 1 2 x 2 2 x 3 1 ,
引入向量
a 11
a 12
a 1 n
b1
1
a 21
a s1
,
2
a a
22
s2
,
,
n
a 2n
a sn
,
b2
b
s
则线性方程组可写成向
1.
设
2
x
1
(5
)x2
4 x3
2,
2 x1
4x2
(5
)x3
1
问 为何值时线性方程组有
解？
2－ 2 － 2
2－ 0 － 2
解： 2 5－ － 4 ＝ 2 1－ － 4
－ 2 － 4 5－ － 2 1－ 5－
2－ 0 ＝ 2 1－
• 用此定理进行线性方程组有没有解的讨 论时，一般用矩阵的初等行变换把线性 方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵
c11 c12 c1r c1n d1
0 c22 c2r c2n d2
A 初 等行变换
0 0 crr crn dr
0
0
0
2 － 2 1 0 0 0 0 0 0
R ( A ) R ( A ) 1 , 线性方程组有无穷多组
解，
当 ＝ 10 时，
8 2 2 1 2 5 4 2 A 2 5 4 2 0 1 1 1
2 4 5 11 0 2 2 1
