t2 x 2
x2 2
(0) 0.5;
( ) 1; ( x) 1 ( x).
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例1] 设 X 服从标准正态分布N (0 ,1) , 求 (1) P( X 1.96);
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t2 2
t2 2
t2 2
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例2] 设随机变量 X 服从正态分布 N (1 ,22 ) , 求概率 P(1.6 X 2.4). 解：P(1.6 X 2.4) ( 2.4 1) ( 1.6 1) 2 2 (0.7) (1.3)
2.标准正态分布 N (0 ,1) 的概率密度与分布函数：

( x) 1 e
2π
x2 2
, x .
1 Φ ( x) e dt. 2π
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t2 x 2
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
3.标准正态分布分布函数的性质： ( x) 1 ( x). 4.利用 ( x )求正态变量落在某区间内的概率：
若 X ~ N ( , 2 ), 则
P( x1 X x2 ) (
x2

) (
x1

).
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
补充例题
[例1] 测量到某一目标的距离时发生的随机误差 X (m) 具有概率密度 ( x 20 ) 2 1 f ( x) e 3200 , 40 2 π 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30 m 的概率. 解：按题意， 每次测量时发生的随机误差 X (m) 服从 正态分布 N (20 ,402 ) , 于是
F ( x)
1
e
( x )2 x 2 2
dx , x .
0.5
O

x
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
标准正态分布的概率密度：
1 ( x) e , x ; 2π 标准正态分布的分布函数： 1 Φ ( x) e dt . 2π ( x) 的性质：
y 0; y 0.
所得的分布称为自由度为 1的 2分布.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
小 结
1.正态分布 N ( , 2 )的概率密度：
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2 π
, x .
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例6] 设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度. 解：已知随机变量 X 的概率密度
1 f X ( x) e , x . 2π 先求随机变量Y的分布函数：
(2) P(1.6 X 2.5).
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
( 2) P(1.6 X 2.5) (2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6)
t
x
P( x1 X x2 )
x2

1 2
x2
x
x2
1
e
( x )2 2 2
dx
x1
1 1 1 e dt e dt e dt 2 π x1 2 π 2 π x2 x1 ( ) ( ).
0.9938 1 0.9452 0.9390.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
一般正态分布的概率计算 [定理] 设 X ~ N ( , 2 ) , 则 x2 x1 P( x1 X x2 ) ( ) ( ). 证：
f ( x)
分布曲线的特征： 1.关于直线 x 对称；
1 2
2.在 x 处达到最大值；
3.在 x 处有拐点；
O

x
4. x 时曲线以 x 轴为渐近线.
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返回Leabharlann 结束§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
5. 固定 , 改变 . 则图形沿 x 轴平移而不改变 其形状. 曲线的形状与一尖塔相似； 当 值增大时，
和近似地服从正态分布；
4. 数理统计中:(1)某些常用分布是由正态分布推导 得到的.(2) 统计推断中常用正态分布的统计量.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的定义
[定义] 若随机变量 X 的概率密度为
1 f ( x) e , x , 2 π 0. 则称随机变量 X 服从 其中 及 都是常数，
所以， 在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过
30 m 的概率
p 1 (1 0.4931)3 0.8698.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例2] 已知某机械零件的直径 (mm) 服从正态分布 N (100 ,0.62 ) , 规定直径在 100 1.2(mm) 内为合格品. 求这种机械零件的不合格品率.
内为正品，求产品的正品率。 解
X ~ N (10.05, 0.06 2 ) P( x 10.05 0.12) x 10.05 P( 2) 0.06 (2) (2) 2(2) 1 0.9544
故产品的正品率为0.9544
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(k ) (k )

(k ) [1 (k )] 2 (k ) 1, k 1 ,2 ,3 ,.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
查附表2得
P( X ) 2 (1) 1 0.6826, P( X 2 ) 2 (2) 1 0.9544, P( X 3 ) 2 (3) 1 0.9973.
正态分布(或高斯分布). 记作： X ~ N ( , 2 ). 当 0, 1时称 X 服从标准正态分布. 记为： 特别，
( x )2 2 2
X ~ N (0 ,1).
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数 正态分布 N ( , 2 ) 的概率密度 f ( x) 的图形：
( 3 , 3 )看作是随机变量 X 的实际 可能的取值
区间. 这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或"3 法则").
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[例4] 某机器生产的螺栓的长度（cm)服从正态分布
N (10.05, 0.06 2 ) ,规定长度在范围 10.05 0.12
FY ( y ) P(Y y ) P( X 2 y).
x2 2
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
FY ( y ) P( y X
y 1 e y 2π x2 2
y
y)
y
dx
y
O
所以， Y 的分布函数为
FY ( y )
y
x
2 y e dx , 2π 0 0,
x2 2
y 0; y 0.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
求导得到 Y 的概率密度
fY ( y )
y 1 1 y 2 e 2, 2π 0,
(0.7) [1 (1.3)] 0.7580 (1 0.9032 ) 0.6612.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例3] 设随机变量 X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落 在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,. 解： P( X k ) P( k X k ) k k ( ) ( )
说明： 若 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( X 3 ) 1 P( X 3 )