P( X 100 1.2) 1 P( X 100 1.2) 1 P( X 100 2) 0.6
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
3.标准正态分布分布函数的性质：
(x) 1 (x).
4.利用 (x)求正态变量落在某区间内的概率：
3. 若随机变量 X ~ N(2 , 2) , 且 P(2 X 4) 0.3 ,
则 P(X 0) ______.
解：已知X ~ N(2 , 2) , 则有
P(2
X
4)
(4
2)
(2
2)
(2
)
(0)
( 2 ) 0.5
0.3
由此可得 ( 2 ) 0.8 , 从而
P(
X
0)
P(
2π
1
3
y2
e y 2
dy.
2π 0
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
置换积分变量 y t , y 2t , 得 2
E(Y 2 )
4
t
3 2
et
dt
π0
4 (5) π2
于是
4 3 1 (1) 4 3 1 π 3, π22 2 π22
D(Y ) E(Y 2) [E(Y )]2 3 12 2.
若 X ~ N( , 2),则
P( x1
X
x2
)
(
x2
)
( x1
).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
思考题
1测. 量到某一目标的距离时发生的随机误差 X (m)
具有概率密度
f (x)
1
( x20)2
e 3200 ,
40 2 π
求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过
2.在 x 处达到最大值；
3.在 x 处有拐点；
o
μ
x
4. x 时曲线以 x 轴为渐近线.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
5. 固定 , 改变 . 则图形沿 x 轴平移而不改变
其形状.
f (x)
6. 固定 , 改变 , 则当 很小时，
曲线的形状与一尖塔相似；
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
小结
若 X ~ N( , 2) ,则 E( X ) , D(X ) 2, (X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
思考题
1. 已知连续随机变量 X 的概率密度为 f (x) 1 exp(x2 2x 1), x . π
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2
π
x2
e2
,
x
;
标准正态分布的分布函数：源自Φ(x) 1x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求 (1) P(X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
的概率密度、数学期望与方差.
解： 已知 X ~ N(0 , 2) , 则 X 的概率密度为
f X (x)
1
x2
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
第四章 正态分布
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
§1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下， 某些概率分布可以利用正态分布
近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的
30 m 的概率.
解：按题意，每次测量时发生的随机误差 X (m) 服从 正态分布N(20 ,402) , 于是
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
P( X 30) P(30 X 30)
(30 20) ( 30 20)
40
40
(0.25) (1.25)
(0.25) [1 (1.25)]
§4.2 正态分布的数字特征
例1.设 X ~ N (0 ,1) ,求Y X 2 的数学期望与方差. 解： E( X ) 0 , D(X ) 1. 所以，
E(Y ) E(X 2) D( X ) [E( X )]2 1 02 1.
E(Y 2)
y2 0
1
y e dy 1 y 22
1 0.9973 0.0027 0.003.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
由此可知 X落在( 3 , 3 ) 之外的概率小于 3 ‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间 ( 3 , 3 )看作是随机变量 X 的实际 可能的取值 区间.这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或"3 法则").
和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导
得到的.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的定义
定义. 若随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x ,
2 π
其中 及 0 都是常数，则称随机变量 X 服从正态
分布(或高斯分布). 记作：
σ 1
当 值增大时，
曲线将趋于平坦.
σ 1.5
概率论与数理统计
σ3
σ 7.5
o
x
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 )的分布函数为
F(x) 1
x
(
e
x )2 2 2
dx
,
x .
2 π
F ( x)
1
0 .5
o
x
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
k ( X ) 0 ,k 1 ,3 ,5 ,;
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
当k是偶数时，
k ( X )
2 k
2π
t k et2 2dt,
0
t2 2u
2k 2 k
k 1
u
2
eu du
2k
2
k
(k
1)
π0
π2
(k 1)!! k , k 2 ,4 ,6 ,.
概率论与数理统计
X ~ N ( , 2). 特别，当 0, 1时称 X 服从标准正态分布. 记为：
X ~ N (0 ,1).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数
正态分布N ( , 2 )的概率密度 f (x) 的图形：
f (x)
分布曲线的特征：
1
2πσ
1.关于直线 x 对称；
则 X 的数学期望为 _____ , 方差为 ______.
解： X 的概率密度可以写为
f (x)
1 2π
1
exp[
(x 2(
1)2 1 )2
]
2
2
由此可知，X ~ N (1 , 1) . 于是有，E( X ) 1 , D( X ) 1.
2
2
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
2.设随机变量X ~ N(0 , 2) , 求随机变量函数Y X
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2的概率密度.
解：已知随机变量 X 的概率密度