(k) [1 (k)] 2 (k) 1, k 1 ,2 ,3 ,.
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
查附表2得
P( X ) 2 (1) 1 0.6826, P( X 2 ) 2 (2) 1 0.9544, P( X 3 ) 2 (3) 1 0.9973. 说明： 若 X ~ N ( , 2 ) , 则 P( X 3 ) 1 P( X 3 )
(x)
1 2
π
x2
e2
,
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x)
(x) 的性质：
1
x t2
e 2 dt .
2 π
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例1] 设 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求 (1) P(X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
2(2) 1 0.9544
故产品的正品率为 0.9544
[例5]
公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的
机会在 0.01 以下来设计的。 设男子的身高
X ~ N (168, 72 ). 问车门的高度应如何确定？
解 设车门高度为 x(cm), 则 P( X x) 0.01
于是 P( X x) 0.99
[定理] 设 X ~ N( , 2) , 则
P(x1
X
x2
)
(
x2
)
( x1
).
证：
t
x
P(x1 X x2 )
1
x2 t2
e 2 dt
2 π x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
2 x1
1
x2 t 2
e 2 dt
2 π
1
x1 t 2
e 2 dt
2 π
( x2 ) ( x1 ).
[例4]
某机器生产的螺栓的长度（cm)服从正态分布
N (10.05, 0.062 ) ,规定长度在范围 10.05 0.12
内为正品， 求产品的正品率。
解 X ~ N (10.05, 0.062 ) P( x 10.05 0.12) P( x 10.05 2) 0.06 (2) (2)
第四章
正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述；
2. 在一定条件下， 近似计算；
某些概率分布和近似地服从正态分布；
大量独立随机变量的
即 由于
P( X 168 x 168) 0.99, (
7
7
(2.33) 0.9901 0.99,
可取
x
x 168) 0.99, 7
168 2.33
x 184.31
7
故车门高度应设计为 184.31 厘米。
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例6] 设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例3] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 求 X 落 在区间 ( k , k ) 内的概率， 这里 k 1 ,2 ,3 ,.
解：
P( X k ) P( k X k )
( k ) ( k )
(k) (k)
正态分布(或高斯分布). 记作：
X ~ N ( , 2). 特别，当 0, 1 时称 X 服从标准正态分布. 记为：
X ~ N (0 ,1).
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 ) 的概率密度 f (x) 的图形：
f (x)
分布曲线的特征：
4. 数理统计中:(1)某些常用分布是由正态分布推导
得到的.(2) 统计推断中常用正态分布的统计量.
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的定义
[定义] 若随机变量 X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x ,
2 π
其中 及 都是常数， 0. 则称随机变量 X 服从
1
2
1.关于直线 x 对称；
2.在 x 处达到最大值；
3.在 x 处有拐点；
O
x
4. x 时曲线以 x 轴为渐近线.
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
5. 固定 , 改变 . 则图形沿 x 轴平移而不改变
其形状.
f (x)
6. 固定 , 改变 , 则当 很小时，
曲线的形状与一尖塔相似；
1 0.9973 0.0027 0.003.
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
由此可知 X 落在 ( 3 , 3 ) 之外的概率小于 3 ‰， 根据小概率事件的实际不可能性原理， 通常把区间 ( 3 , 3 ) 看作是随机变量 X 的实际 可能的取值 区间. 这一原理叫做 “三倍标准差原理” (或"3 法则").
当 值增大时，
曲线将趋于平坦.
O
1
1.5 3 7.5 x
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 ) 的分布函数为
F(x) 1
x
(
e
x )2 2 2
dx
,
x .
2 π
F (x)
1
0.5
O
x
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
标准正态分布的概率密度：
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例2] 设随机变量 X 服从正态分布 N (1 ,22 ) , 求概率 P(1.6 X 2.4).
解：P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
2
2
(0.7) (1.3)
(0.7) [1 (1.3)]
0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
一般正态分布的概率计算
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解： 已知随机变量 X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
先求随机变量 Y 的分布函数：