线性代数第一章行列式一、填空题 1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=82.行列式213132321= -18 . 解:D=1⨯3⨯2+2×1×3+2×1×3-3⨯3⨯3-1⨯1⨯1-2⨯2⨯2=-18 3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：()(1234)(2431)41(1)1ττ+-=-= 12243143a a a a 的系数：()(1234)(2413)31(1)1ττ+-=-=-因此，符合条件的项是12243341a a a a4、222111a a bb cc （,,a b c 互不相等）=_______ 答案：()()()b a c a c b ---分析：222111a a bb cc =222222()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=---5.行列式1136104204710501λ--中元素λ的代数余子式的值为 42解析: 元素λ的代数余子式的值为64207101-341+-⨯）（=(－1) ×7×6×(－1)=42 6.设31-20312223=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =312111222-=0二、 单项选择题1、设xx x x x x f 111123111212)(-=，则x 3的系数为（C ）A. 1B. 0C. -1D. 2 解：x 3的系数为）（）（）（1-21341234 +=-12、 设333231232221131211aa a a a a a a a =m ≠0,则333231312322212113121111423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ）A.12mB. -12mC.24mD. -24m解：333231232221131211a a a a a a a a a )4(2-⨯j →3332312322211312114-4-4-aa a a a a a a a =-4m212j j +⨯→3332313123222121131211114-24-24-2aa a a a a a a a a a a =-4m31⨯j →3332313123222121131211114-234-234-23aa a a a a a a a a a a =-12m3.行列式k-122k-1≠0的充分必要条件是（C ）(A.)k ≠-1 (B)k ≠3(C)k ≠-1且k ≠3(D)k ≠-1或k ≠3 因为原式=(k-1)(k-1)-4≠0 所以k-1≠2且k-1≠-2 所以k ≠-1且k ≠3 所以答案为C4.行列式0000000ab c d e f gh中元素g 的代数余子式的值为（B ）（A ）bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf41A =4+1(1-）0000bc d ef=-(bcf-bde)=bde-bcf 所以答案为B5.设D=,......... (2)12222111211nnn n n n a a a a a a a a a 则nnn n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka --------- (2)12222111211=( )(A)-kD (B)-k nD (C)k nD (D)(-k)nD 答案:D解:由行列式性质3:将nnn n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka --------- (2)12222111211的每行提出一个-k,得到(-k)nD,即为选项D.6.行列式D 10=10...0000...09000...80..................002...00010...00=( ) (A)50 (B)-(10!) (C)10! (D)9! 答案:C解:由行列式的定义,每个因式的元素取自不同行不同列,且不为零,则每行依次取出1,2,…,10,得到10!.又因为=)09876543211(τ36为偶数,所以结果为正数.最终结果为10!三、计算题1、计算行列式1234101231101205D =---.解D=11332012-3110-4205-=10002270--32103---42129---=1*())(111+-270--2103---2129---=-6100131153=24-2、计算行列式1111120010301004D =.解、D=111112001030104=10001111--1121--1113--=1*()()111+-111--121--113--=2- 3.计算行列式1114113112111111D =解 1114113112111111D ==0003002001001111= -64.计算行列式1234234134124123D =解 1234234134124123D =111023410234103410113(2,3,4)(2,3,4)104120044101230004i i c c i r r i -+=-=-- =1605. 计算n 阶行列式nD i c n i +==1c ),...,3,2(xa aan x aa x a n x aa aan x ...)1(..................)1(...)1(-+-+-+=[x+(n-1)a]xa aa a x a a a ...1..................1...1i x x n i +-⨯==)1(),...,3,2(1[x+(n-1)a]ax a x a a a -- (00)...............0000...1=[x+(n-1)a] 1)(--n a x6.当k 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=-+02027023321321321x x x x x kx x x x 有非零解.解由题知D=2131)2(r 331-22-7k1-23r r r +-⨯+⨯=0511036123--k =51136)1()1(31--•-+k =-5(k-6)+33=0 得k=563四.解答题1.写出D=111214--中第3列元素的余子式和代数余子式的值，并求出D 的值。

解：M 31=2101-=-2 A 31=(-1)13+ ×(-2)=-2M 32=2402=4 A 32=(-1)23+×4=-4 M 33=1412-=6 A 33=(-1)33+×6=6D=-1×(-2)+1×(-4)+(-1)×4=-82、用Cramer 法则解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++365213232132321x x x x x x x x解D=11612312--=84012312---=-40且D 1=113125311--=-40 D 2=136150312-=-80 D 3=31652112-=40所以1x =1 2x =2 3x =1- 五、证明题1.设21i =-，试证：1111111122222222333333332a b ia ibc a b c a b ia ibc a b c a b ia ibc a b c ++++=++111111111111122222222222223333333333333=a b i a i b c a a i b c b i a i b c a b i a i b c a a i b c b i a i b c a b i a i b c a a i b c b i a b c +++++++++++++证：111111111111222222222222333333333333a a i c abc b i a i c b i b c a a i c a b c b i a i c b i b c a a i c a b c b i a i c b i b c =+++111111222222233333300a b c a b c a b c i a b c a b c a b c =+-+ 又因为2i =-1,所以原式222333=2a b c a b c ， 所以证毕2.设12,,n a a a 互不相同，证明：线性方程组12112222221122111111221n n n n n n n n n nnx x x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ----+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪+=⎩ 证：系数行列式为范德蒙行列式1222212111112111=()n i j n i j nn n n na a a D a a a a a a a a ≤≤≤---=-∏因为1a ,2a ,,n a 互不相同，所以0D ≠，故该线性方程组有唯一解，证毕3设111213212223313233 a a a a a a a a a =a,11122122b b b b =b,证明：111112121112111111121211121221212222212221212122222122222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --+-+---=72ab.解: 121113212223313233111221220022200222002223300033000a a a a a a a a ab b b b =72121113212223313233111221220000000000a a a a a a a a ab b b b 由拉普拉斯展开定理可知1211132122233132331112212200000000000a a a a a a a a ab b b b =111213212223313233a a a a a a a a a •11122122b b b b =ab 所以121113212223313233111221220022200222002223300033000a a a a a a a a ab b b b =72ab。