1 ( 1(
0) 0)
9
5.Hilbert变换的应用 1).单边带调制
SSB的复包络可表示为
g(t) Ac[m(t) j m(t)]
where
m(t) m(t) h(t)
and h(t) 1
t
SSB带通信号可表示为
s(t) Ac[m(t) cosct m(t) sin ct]
10
t
1 cos2ftdt j 1 sin 2ftdt
t
t
H ( f ) 2 j 1 sin 2ftdt 2 j sin 2ft dt
0 t
0 t
2
j2
f
0
sin 2ft 2ft
dt
2
j
sin x dx
0x
x 2ft dx 2fdt
2
2
j
j
2
2
j j
f 0 f 0
SLSB ( f ) 1/ 2[GLSB ( f fc ) GL*SB ( f fc )]
SUSB ( f )
SLSB ( f )
c
c
c
c 13
2)SSB信号的数字解调
sLSB (n) Ac[m(n) coscn mˆ (n) sincn]
H {m(n)coscn} m(n)sincn
Hilbert filter
6
3. Hilbert的性质
性质1 Hilbert变换器是-90度相移的全通滤波器。
1
H {奇函数} 偶函数
2
H {偶函数} 奇函数
性质2 s(t)与 sˆ(t)，s(n)与 sˆ(n)分别是正交的。
s(t)sˆ(t)dt
1
S()[Sˆ()]*d
2
j 0 S() 2d j S() 2d 0
LSB GLSB ( f ) F{Ac[m(t) jmˆ (t)]}
Ac[M ( f ) jM ( f )H ( f )]
Ac[M (
Ac
[
M
(
f f
) )
jM ( jM (
f f
)( j)] 0 )( j)] 2AcM (
f
)
( f 0) ( f 0)
12
USB gUSB(t) Ac[m(t) jmˆ (t)]
m(n)
SSB的一种数字解调
14
3).带通信号的包络、瞬时相位和瞬时频率 带通信号s(t)的解析信号可以表示为
t
m(t) mˆ (t) h(t)
1
where
h(t)
t
4
2. Hilbert 变换系统
Hilbert滤波器 幅频响应
相频响应
- j f 0
H(f )
j
j sgn( f ) f 0
Hibert变换滤波器是一个全通滤波器
Hilbert变换的本质是一个相移滤波器，相移-90° 5
H ( f ) 1 e j2ftdt
Ac[M ( f ) jM ( f )H ( f )]
Ac[M (
Ac
[
M
(
f f
) )
jM ( jM (
f f
)( j)] 2AcM ( )( j)] 0
f
)
( f 0) ( f 011)
M(f )
jMˆ ( f )
M ( f ) jMˆ ( f )
LSB gLSB (t) Ac[m(t) jmˆ (t)]
H {m(t) cos(ct )} m(t)sin(ct ) H {m(t)sin(ct )} m(t) cos(ct )
4 .if M () m(t) and Mˆ () mˆ (t)
Mˆ () F{mˆ (t)} F{H {m(t)}}
jM ()sgn()
sgn()
2
2 0
7
3. Hilbert的性质
性质3 如果 s(t)、s1(t)和s2 (t) 的Hilbert变换分别为
sˆ(t)、sˆ1(t)和sˆ2 (t)，且 s(t) s1(t)* s2(t)
sˆ(t) s1(t)*sˆ2(t) sˆ1(t)*s2(t)
性质4 对于平稳随机信号x(t)的Hilbert变换也是 平稳的，且有
mˆ (t) H{m(t)} m(t) * h(t)
m( ) d
(t )
m(t)
H
－1{mˆ (t)}
mˆ (
(t
)
d
)
M(f )
jMˆ ( f )
M ( f ) jMˆ ( f )
USB gUSB(t) Ac[m(t) jmˆ (t)]
USB GUSB( f ) F{Ac[m(t) jmˆ (t)]}
H {mˆ (n)sincn} mˆ (n)sincn
H {sLSB (n)} Ac[m(n) sincn mˆ (n) coscn]
s(n)
AI (n)
解调输出
Hilbert 变换
cos0n
NCO
sin 0n
AQ (n)
AI (n) AQ (n)
m(n) cos2 (cn) m(n) sin2(cn)
Rxˆ ( ) Rx ( )
Rxˆx ( ) Rˆx ( ) Rxxˆ ( ) Rˆx ( )
8
4. 在通信中常用的Hilbert变换的重要公式
1 H {cos(ct )} sin(ct )
2 H {sin(ct )信号
sUSB(t) Re{gUSB(t)e } jct
Ac[m(t) cosct mˆ (t)sinct]
LSB gLSB (t) Ac[m(t) jmˆ (t)]
sLSB (t) Re{gLSB (t)e } jct
Ac[m(t) cosct mˆ (t)sinct]
SUSB ( f ) 1/ 2[GUSB ( f fc ) GU*SB ( f fc )]
3
用途: 已知一个函数或信号，求其正交函数或信 号，这在工程中是常见的。
1 Hilbert 变换的定义 对于信号 m(t)，其Hilbert变化为
mˆ (t) H {m(t)} 1 m( ) d
t
mˆ (t) m(t) h(t)
逆变换 m(t) H -1{mˆ (t)} 1 mˆ ( ) d
第3章 一些常用的变换
1
主要内容
Hilbert变换 匹配滤波器和相关器 Walsh-Hadamand变换 K-L变换
2
引言 设s(t)是因函数，即s(t)=s(t)U(t)，且有
s(t) S() R() jI()
有：
R()
1
I ( ) d
I
()
1
R( ) d
即：因函数的Fourier变换得到实部与虚部存在一 定的对应关系，这一对应关系称为Hilbert变换