第三章习题参考解答3.1 求下列信号展开成傅里叶级数，并画出响应相应的幅频特性曲线。

解 (a) ⎰-=Ttjk dt et x Tk X 011)(1)(ωω⎰-=τω011dt AeTtjk 2121τωτωτk Sae T A k j -= )2(1Tπω=t jk k j k e e k Sa TA t x 11212)(ωωττωτ⋅=∴-∞-∞=∑3.1解 (b) ⎰-=Tt jk dt e t x Tk X 011)(1)(ωω⎰-=Tt jk dt te T A T011ω⎰--⋅=T t jk e td jk T A 012][11ωω ⎰-+-=T t jk dt e T jk Ak j A 02112ωωπkjA π2= )2(1T πω= ⎰=Tdt t x TX 0)(1)0(2A =∑∞≠-∞=+=∴)0(122)(k k t jk e kjA At x ωπ解 (c) ⎰-=Ttjk dt et x Tk X 011)(1)(ωωdt e TTtjk T T ωπ--⋅=⎰442cos1dt e e Tt k j t k j T T ][21111)1()1(44ωω+---+=⎰][)1(121][)1(1214)1(4)1(14)1(4)1(11111Tk j Tk j Tk j Tk j e ek j T e e k j T ωωωωωω++-----⋅+-⋅+--⋅=2)1sin()1(212)1sin()1(21ππππ--+++=k k k k π2)1(412)1(41-++=k Sa k Sa t jk k e k Sa k Sat x 1)2)1(2)1((41)(ωππ-++=∴∑∞-∞= )2(1T πω=解 (d) ⎰--=221)(1TT t jk n dt e t TF ωδT1=∑∞-∞==∴k tjk eTt x 11)(4ω3.2 求题图3.2所示信号的傅里叶变换。

解 (a) dt Ae X t j ⎰--=221)(ττωω2ωττSaA =解 (b) 设)()('2t x t g =，).()("2'2t x t g = τττωτωτAe AeAt g F j j 422)]([22'2-+=-τωττAA42c o s 4-⋅=由傅氏变换的微积分性质知： 0'2'22)]([)()]([)]([=⋅+=ωωπδωt g F j t g F t g F ωωττj A 12c o s 4-⋅= 0222)]([)()]([)]([=⋅+=ωωπδωt g F j t g F t x F 22c o s 14ωωττ-⋅=A 22)4(4s i n 2ωτωττ⋅=A题图3.242)(22ωττωSa A X =∴解 (c) t TT t T t A t x πεε2cos )]4()4([)(3--+=利用傅氏变换性质知：]4)2(4)2([4)(3TT Sa T T Sa AT x πωπωω-++=]4242[4πωπω-++=T Sa T Sa AT解 (d) ωωωjT Tj Ae e T Sa T AT t x F ---=2'42)]([0'4'44)]([)()]([)]([=⋅+=ωωπδωt x F j t x F t x F ]2[2ωωωωjT Tj e e T Sa j A ---=]2[)(224ωωωωωTj Tj e TSa e j A X ---=∴ 或 Tj T j ej A e TAX ωωωωω----=)1()(24解 (e) ωωωωω43454242)(T jTj eT Sa AT e T Sa AT X ---=][42442ωωωωTj Tj Tj e e e T Sa AT ---=ωωω22244Tj e T Sa jAT -=解 (f) ⎰∞--=06)(dt e e X t j t ωαω∞+-+-=0)(1t j e j ωαωαωαj +=13.3 若已知)()]([ωX t x F =，试求下列信号的傅里叶变换。

(1) )2(t tx解 ωωd dX jt tx F )()]([= )2(2)2()2(2121)]2(2[21)]2([ωωωωX d d j d dX jt tx F t tx F =⋅==(2) )3(-t tx解 ωω3)()]3([j e X t x F -=- ])([)]3([3ωωωj e X d d jt tx F -=-ωωωω33')(3)(j j e X ejX --+=(3) )3(t x -解 ωω3)()]3([j e X t x F =+ ωω3)()]3([j e X t x F --=-(4) )3()3(--t x dtdt 解 )()](['ωωX j t x F =)]([)](['ωωωX j d d j t tx F =)]()(['ωωωX X +-= ωωωω3')]()([)]3()3[(j e X X t x dtdt F -+-=--(5) )(b at x +解 ωωjb e X b t x F )()]([=+ ωωa bj e a X ab at x F )(1)]([=+(6)⎰∞-+td x ττ)23(解 令v =+23τ 则有：)23(31)(23+=⋅⎰+∞-t g dv v x t , dv v x t g t⎰∞-=)(31)( )]0()()([31)]([X j X t g F ωπδωω+=，ωωπδωω2)]0()()([31)]2([j e X j X t g F +=+ωωπδωω32)]0()3(3)3([91)]23([j e X j X t g F +=+).()0(3)3(31)23(32ωδπωωττωX e j X d x j t +=+∴⎰∞-3.4 在题图3.2(b)中取τ=T ，将)(2t x 进行周期为T 的周期延拓，得到周期信号)(t x T ，如题图3.4(a)所示；取)(t x T 的12+N 个周期构成截取函数)(t x N ，如题图3.4(b)所示。

(1) 求周期信号)(t x T 傅里叶级数系数； (2) 求周期信号)(t x T 的傅里叶变换； (3) 求截取信号)(t x N 的傅里叶变换。

解 (1) 设单个三角波脉冲为)(t x ，其傅里叶变换42)(2TSa AT X ωω=根据傅里叶级数)(1ωk X T 和傅里叶变换)(ωX 之间的关系知：1)(1)(1ωωωωk T X Tk X ==14212ωωωk a TS AT T =⋅=)2(22421212πωπω===T k Sa A T k Sa A(2) 由周期信号的傅里叶变换知：)()(2)]([11ωωδωπk k X t x F k T T -=∑∞-∞= )(22212ωωδππk k Sa A k -=∑∞-∞=)(212ωωδππk k Sa A k -=∑∞-ℵ= (3) 因为)()(∑-=-=NN n N nT t x t x∑-=-=NNn N nT t x F t x F )]([)]([ωωj n TNNn eX --=∑=)(ωωωωjN TjT T N j e ee X -+--=11)()12(ωωωT T N X 21sin )21sin()(+=422T Sa AT ω=ωωT T N 21sin )21sin(+⋅3.5 绘出下列信号波形草图，并利用傅里叶变换的对偶性，求其傅里叶变换。

(1) )()(01t t Sa t x π=(2) )()(022t t Sa t x π=[提示：参见脉冲信号和三角波信号的傅里叶变换]解(1) 2)]2()2([ωττπεπεaF S A t t A −→←--+， ∴根据对偶知：)]()([)(00t t t t t S Fa πωεπωεπ--+−→←)4(22ωττa F S A −→←解(2)根据对偶知：∴−→←Fa t t S )(2π3.6 已知)(t x的波形如题图3.6(a)所示，(1) 画出其导数)('t x 及)(''t x 的波形图；(2) 利用时域微分性质，求)(t x 的傅里叶变换；(3) 求题图3.6(b)所示梯形脉冲调制信号t t x t x c c ωcos )()(=的频谱函数。

解(1) )('t x 及)("t x 的波形如下：(2) ][1)()]([222"τωτωτωτωτωj j j j e e e e X t x F --+--== )cos 2(cos 2τωτωτ-=)()0()()()]([221'ωδπωωωX j X X t x F +==∴ωωj X )(2=]cos 2[cos 2τωτωωτ-⋅=j)()0()()()]([11ωδπωωωX j X X t x F +==∴ωωj X )(1=]2cos [cos 22τωτωτω-= (3) )(21)(21)]([c c c X X t x F ωωωω-++=3.7 求下列频谱函数的傅里叶逆变换。

(1)ωj +21解 )(]21[21t e j F t εω--=+ (2)2)2(1ωj +解 222)2(1)2(]21[+=+-=+ωωωωj j j j d d j )(])2(1[221t te j F tεω--=+∴ (3)1)2(12++ωj解 )2(21)2(21)2(112j j j j j j j ----++--=++ωωω )(]2121[]1)2(1[)2()2(21t e je j j F tj t j εω--+---=++∴ ).(sin 2t t e t ε-=(4) ω2sin 4解 ][2142sin 422ωωωj j e e j--⋅= ][222ωωj j e e j ---= )]2()2([2]2sin 4[1--+-=∴-t t j F δδω(5)21ω解 )(2]1[ωπδ=F).(')](2[21]2[ωπδωπδωj d d j t F =⋅=∴ ………(3.7.5.1) 又)(1)]([ωπδωε+=j t F).('1)](1[)]([2ωπδωωπδωωεj j d d jt t F +-=+=∴ ………(3.7.5.2) 由(3.7.5.1)、(3.7.5.2)式可知：)]([]2[12t t F tF εω-= )(2]1[21t t tF εω-=∴-]1)(2[2--=t t ε)(Sgn 21t t -=(6) 2/2sinωτωτ解 22sin)]2()2([ωτωτττετε=--+t t F)]2()2([1]2/2[sin1τετετωτωτ--+=-t t F*3.8 设输入信号为)()(4t e t x tε-=，系统的频率特性为2561)(ωωωω-++=j j H ，求系统的零状态响应。