En n2 2 2 2ma 2
2 n sin x（归一化） a a
2 n n x sin x a a
几点讨论：
(a) 束缚态与分立能级.无限深势阱中粒子的能量是量子 化的.粒子被束缚在(0,a) 的区域内,不可能到达无穷远. 把粒子束缚在有限的空间区域内,即的状态称为束缚态.反 之,把粒子可到达无限远处的状态称为非束缚态或散射态.
2
反射系数
R A
2
sh a 4k ch a k sh a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
k
Be
ika
2 2i k cha 1 k
2ik
sh a
2
透射系数
T B
2
1 k 2 1 sh a 4 k
A B e a 2 2C cos a 2, A B e a 2 2C sin a 2, A B e a 2 2 D sina 2, A B e a 2 2 D cos a 2
a.考虑上方程组中前两个
按几率流密度表达式,入射流密度为
i ikx ikx k ji e c .c v e 2m x m
反射波和透射波相应的反射流和透射流密度为
jr A v ,
2
jd B v
2
jd jr 2 2 A , T B 反射系数R和透射系数T分别为 R ji ji 2 2
第 八章 一维量子化体系
连 续 性 条 件 波 函 数 与 薛 定 谔 方 程 波函数的统计诠释 态 叠 加 原 理 薛定谔方程的引进 波函数 的意义 含时薛定谔方程 不 含 时 薛定 谔 方 程 求 一维定态问题 一 解 般 方 性 法 质
有限深 方势阱 一维量子化体系
无限深 方势阱 方势垒 的穿透
E
x 2 x 0, 2mV0 E
0
a
图3.2.1 方势垒
x Ce x De x
V0 , 0 x a V x 0, x 0, x a
2、在势阱外(即：x<0，x>a),定 态薛定谔方程为： ：
在x=a点,波函数及其一阶导数的连续条件
Be ika Ce a De a ikAe ika Ce a De a
1 ika a ik C e 1 B 2 1 ika a ik D e 1 B 2
n1
仍是方程的解.因此,在一维无限深势阱中粒子的态不 一定是定态n ,也可以是它们的线性叠加态.由叠加原 理可知,当粒子处于时,测量它处于态的几率为|cn|2.
3.2 方势垒—连续谱
V0
（V0-E）
一、首先考虑E<V0 情况 1、在势阱内(0<x<a) ,定态薛 定谔方程为： ：
2 2 V ( r ) ( r ) E( r ) 2m d2 dx ( x ) 2 2m 2 （1） 定态方程 [ E V ( r )]( r ) 0
4k 2 k 2
2
sin 2 k a
1
2 1 k k 2 1 sin k a 4 k k
讨论：
1、经典力学的观点,在E<V0情况下,粒子根本不能 穿过势垒,将完全被弹回；在E>V0情况下,粒子将完 全穿过势垒.粒子能穿过比它动能更高的势垒,这 种现象称为遂道效应. 2、现在对透射系数作一低能估计 若E越小,则越大,当a>>1时,shaea/2
3、隧道效应与纳米科学技术
隧道效应有着广泛的应用.1960年,贾埃维将厚度为3nm的 氧化物绝缘层夹在超导金属膜和常态金属膜之间(SIN结) 进行 遂道效应实验,获得了它的伏安特性.随后又成功地观测到超导 体－绝缘体－超导体(SIS结) 的遂道效应,还利用这一单电子 隧道效应成功地测量了超导体的能隙,利用隧道电流与温度的关 系制成了低温温度计,利用隧道效应的负阻现象制成了超高频放 大器、超高频振荡器、电磁波检测器等精密仪器.1962年约瑟 夫森发现,当超导体间绝缘层厚度减小到1.5nm左右时,库柏电 子对也能穿透势垒,称为约瑟夫森效应,还预言了直流和交流的 约瑟夫森效应,并在一年之后得到证实.约瑟夫森因此与贾埃维 分亨了1973年的诺贝尔物理学奖.利用约瑟夫森效应又制成了 超导计算机元件、灵敏电磁波检测器、超导量子干涉磁强计等 众多精密测量仪器.1982年,宾尼和尼雷尔发明了在真空条件下 工作的扫描隧道显微镜(STM),更为隧道效应的应用揭开了新的 一页.当用钨制成的非常尖锐的探针与金属样品靠得很近时(间 隙),加上若干毫伏的电压后,就会形成隧道电流,式中为平均势 垒,C为常数.
一 维 谐 振 子
3.1 无限深方势阱—分立谱
V(x)
1、在势阱内(0<x<a) ,定态薛定 谔方程为 ：
d2 dx
2
x
2m
2
E x 0 ,令 k 2mE 0 Nhomakorabeaa
x
3.1.1无限深势阱
解：
x A sin( kx )
A和是待定常数.
0 0 x a V x 0 , x a
x k 2 x 0 , k 2mE
ikx x e 有形式解
能量是连续的,且二度简并.粒子从左入射,在x<0区域中, 既有入射波,又有反射波,但在x>a区域中,只有透射波.
e ikx Ae ikx , x ikx Be , x0 xa
tana 2
A B, D 0
n
En En 2n 1 n2 0
即n很大时,分立能谱转化为准连续谱. (d) 在(0,a) 区域内,一维无限深势阱中粒子的定态 波函数为 i n i n x E t x E t
n x , t n x e
iEn t
3.3
a 2
有限深方势阱
2 x V x x E x 2m 一.粒子的能量-V0<E<0 , 即束缚态情形
1、对势阱外( x a 2 ,经典禁止区)
a 2
x
V0
束缚态要求波函数在 x 时为零
Ae x , x a 2 x x Be x a 2 2、对势阱内( x a 2 ,经典允许区)
2 2 1
1
sh a 1 4 E V 1 E V 0 0
RT A B 1
2
2
二、首先考虑E>V0 情况
利用： ik
T
shik a i sin k a
k 2m E V0
4k 2k 2 k 2 k 2
C1e
a
n
C 2e
a
n
n可看成是沿x正方向传播的行波和沿x负方向传播的 行波叠加而成的驻波.
n k , n 1,2 ,3 , a
对波矢k的限制,亦即对能量的限制, 实际上是稳定驻波的条件.
(e) 薛定谔方程是线性齐次方程,它的解的线性组合
x , t c n n x , t
R T A B 1
在x=0点,波函数及其一阶导数的连续条件给出
ik 1 A C D 1 A C D
1 ik ik C 1 A 1 2 1 ik ik D 1 A 1 2
如纳米金属微粒在低温下呈现电绝缘性；典型铁电体 进入纳米数量级会变成顺电体；铁磁性物质进入纳米 数量级会呈示极强的顺磁效应；纳米陶瓷的交流电阻 变得很小；惰性金属（铂）制成的纳米微粒却成为极 好的催化剂等,无不展现了广阔的应用前景.总之,量子 力学、扫描隧道显微镜、微电子技术和计算机的结合 所开创的纳米科学技术,必将开辟人们认识世界的新层 次：新材科将被创造,新概念、新理论将相继建立,标 志生产力进步的新的生产方式将会出现,纳米科学技术 时代即将到来.
Ae a 2 C cos a 2 D sin a 2,
i x
De
i x
利用 及其一阶导数 在内外间的边界 x a 2 连续
Ae a 2 C sin a 2 D cos a 2, Be a 2 C cos a 2 D sin a 2, Be a 2 C sin a 2 D cos a 2
T
k
16 k 2 2
2
2
2 a e 2
16 E V0 E 2a exp 2m V0 E V0
表明T与势垒宽度a,(V0-E),以及粒子质是m有关.随 a增加,T指数衰减,所以,在宏观实验中,不容易观测 到粒子穿透势垒的现象.
2 x 0, 2mE V0
x 0, 2mE
2
有限深方势阱
V0 V x 0 x a 2 x a 2
x C sin x D cos( x) 或 x Ce
隧道电流I对间隙S的变化非常敏感,用精确的移动和定位技术驱 动探针在金属样品上方扫描,利用测得的隧道电流控制并调整探 针的高度以保持隧道电流不变,再把反映探针高度变化的信号用 于成像,即可获得原子的清晰图象.1986年以来,又陆续发展了一 系列新型的扫描探针显微仪器,如原子刀显微镜(AFM) ,磁力显 微镜(MFM) ,扫描离子电导显微镜(SICM) 等.这些显微镜不仅能 以极高的分辩率研究样品表面的形貌和物理化学性质,而且近年 来还成功地用于操纵单个原子和分子, 如己实现对氙原子、铁 原子、硅原子、硫原子、一氧化碳分子、有机分子和水分子的 搬运.1959年,诺贝尔物理学奖获得者费曼曾说：“如果有一天 能按人的意志安排一个个原子和分子将会产生什么样的奇迹 呵！”.今天人们己能制备包含几十个到几万个原子的纳米微粒 （纳米尺度上的原子、分子集合体,比细菌小几十倍,与病毒大 小相当）,并且能把它们排列成一维量子线、二维量子面和三维 纳米固体.由于纳米粒子具有小尺寸效应、表面效应、量子效应 和隧道效应这些基本特征,使得纳米微粒和纳米固体呈现许多奇 异的物理、化学特性,出现许多“反常”的现象.
