上海市2019年中考数学二模汇编：24题二次函数闵行 24．（本题共3小题，每小题各4分，满分12分）已知抛物线2y x b x c =-++经过点A （1，0）、B （3，0），且与y 轴的公共点为点C ． （1）求抛物线的解析式，并求出点C 的坐标； （2）求∠ACB 的正切值；（3）点E 为线段AC 上一点，过点E 作EF ⊥BC ， 垂足为点F ．如果14EF BF =，求△BCE 的面积． 宝山24．（本题满分12分，第(1)、第(2)、第(3)小题满分各4分）如图，已知对称轴为直线1x =-的抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A .（1）求点B 的坐标及此抛物线的表达式；（2）点D 为y 轴上一点，若直线BD 和直线BC 的夹角 为15º，求线段CD 的长度；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点， 当BPC ∆为直角三角形时，求点P 的坐标.Oxy（第24题图）11-1-1崇明 24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图8，抛物线2y x bx c =++交x 轴于点(1,0)A 和点B ，交y 轴于点(0,3)C ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找出点P ，使PC PO =，求点P 的坐标；（3）将直线AC 沿x 轴的正方向平移，平移后的直线交y 轴于点M ，交抛物线于点N ． 当四边形ACMN 为等腰梯形时，求点M 、N 的坐标． 奉贤24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 如图9，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线22y ax bx 与x 轴交于点A (-2，0)和点B (4，0) ．（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；（2）点C 在线段OB 上，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为点C ，交抛物线与点D ，E 是BD中点，联结CE 并延长，与y 轴交于点F ． ①当D 恰好是抛物线的顶点时，求点F 的坐标； ②联结BF ，当△DBC 的面积是△BCF 面积的32时，求点C 的坐标．图8备用图图9OABxy22. 已知：抛物线c bx x y ++-=2，经过点()2,1--A ，()10，B .（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B '与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B '，设此时抛物线顶点为点P '. ①求B B P ''∠的大小.②把线段B P ''以点B '为旋转中心顺时针旋转120，点P '落在点M 处，设点N 在（1）中的抛物线上，当B MN '∆的面积等于36时，求点N 的坐标.普陀 24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线243y x m =-+(0)m >与x 轴、y 轴分别交于点A 、B如图11所示，点C 在线段AB 的延长线上，且2AB BC =． （1）用含字母m 的代数式表示点C 的坐标；（2）抛物线21103y x bx =-++经过点A 、C ，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）题的条件下，位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点P ：使2PAB OBC S S =△△，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，试说明理由．第24题图xyO AB1124. 已知开口向下的抛物线222y ax ax =-+与y 轴的交点为A ，顶点为B ，对称轴与x 轴的交点为C ，点A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M ，直线AB 与直线OD 交于点N. （1）求点D 的坐标；（2）求点M 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）当点N 在第一象限，且∠OMB=∠ONA 时，求a 的值.长宁24.（本题满分12分，每小题4分）如图6，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=294经过原点，且与x 轴相交于点A ，点A 的横坐标为6，抛物线顶点为点B ． （1）求这条抛物线的表达式和顶点B 的坐标；（2）过点O 作AB OP //，在直线OP 上点取一点Q ，使得OBA QAB ∠=∠，求点Q 的坐标；（3）将该抛物线向左平移)0(>m m 个单位，所得新抛物线与y 轴负半轴相交于点C 且顶点仍然在第四象限，此时点A 移动到点D 的位置，4:3:=DB CB ，求m 的值．图6 1 y 1xO嘉定松江答案 闵行 24．解：（1）由题意，得30,9330.a b a b +-=⎧⎨+-=⎩………………………………………………………（1分） 解得 1,4.a b =-⎧⎨=⎩…………………………………………………………（1分）所以，所求抛物线的解析式为 243y x x =-+-． ………………（1分） 由 x = 0，得 y = -3．∴ 点C 的坐标为（0，-3）．…………………………………………（1分） （2）联结AC 、BC ．过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵ B （3，0），C （0，3），∴ OB = OC = 3．BC =．……………………………………（1分）在Rt △BOC 和Rt △BHA 中，∠AHB =∠COB = 90°． ∴cos BH OB ABH AB BC ∠===．∴BH ．………………（1分） 即得AH =CH =． ………………………………………（1分）在Rt △ACH 中，∠AHC = 90°，∴ 1tan 2AH ACB CH ∠==．……………………………………………（1分）（3）联结BE ．设EF = a ．由 14EF BF =，得 BF = 4a ．…………………（1分）又∵ 1tan 2EF ACB CF ∠==，∴ CF = 2a ．…………………………（1分）∴ BC = BF +FC = 6a ．∴6a =解得a =EF ．………………………………（1分） ∴113222BCE S BC EF ∆=⋅=． ………………………（1分）宝山24.解：（1）依题意得：1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解之得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，……………………3分∴抛物线的解析式为223y x x =--+. …………………1分 （2）∵对称轴为1x =-，且抛物线经过(1,0)A ，∴(3,0)B -∴直线BC 的解析式为3y x =+. ∠CBA =45° …………………1分 ∵直线BD 和直线BC 的夹角为15º， ∴∠DBA =30°或∠DBA =60° …………1分在△BOD ，DBO BO DO ∠⋅=tan ，BO=3 …………………1分 ∴DO=33或33，∴CD=333-或333-. …………………1分 （3）设(1,)P t -，又(3,0)B -，(0,3)C ，∴218BC =，2222(13)4PB t t =-++=+，2222(1)(3)610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=即：22184610t t t ++=-+解之得：2t =-， ②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=即：22186104t t t +-+=+解之得：4t =， ③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=即：22461018t t t ++-+=解之得：1t =2t =…………………4分综上所述P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或(-或(-. 崇明24．（本题满分12分，每小题满分各4分）解：（1）∵抛物线2y x bx c =++ 过点A （1，0）、C （0，3）∴013b cc =++⎧⎨=⎩………………………………………………………………（2分）解得43b c =-⎧⎨=⎩ ……………………………………………………………（1分）∴抛物线的解析式为243y x x =-+ ………………………………………（1分） （2）过P 作PH OC ⊥，垂足为H∵PO ＝OC ，PH OC ⊥∴CH ＝OH 32= ………………………………………………………………（1分） ∴ 23432x x -+=……………………………………………………………（1分）∴22x =±………………………………………………………………（1分）33(2)22P P 或（2，）………………………………………………（1分） （3）连接NA 并延长交OC 于G∵四边形ACMN 为等腰梯形，且AC ∥MN∴∠ANM ＝∠CMN ，∠ANM ＝∠GAC ，∠GCA ＝∠CMN ∴∠GAC ＝∠GCA ，∴GA ＝GC 设GA ＝x ，则GC ＝x ，OG ＝3－x 在Rt △OGA 中，OA 2＋OG 2＝AG 2∴12＋(3－x)2＝x2，解得x ＝ 53∴OG ＝3－x ＝43，∴G （0，43）易得直线AG 的解析式为y ＝－43x ＋43令－43x ＋43＝x2－4x ＋3，解得x 1＝1（舍去），x 2＝53∴N （53，－89）………………………………………………………………（2分）∴CM ＝AN ＝(1－53)2＋(89)2＝109∴OM ＝OC ＋CM ＝3＋109＝379∴M （0，379）…………………………………………………………………（2分）∴存在M （0，379）、N （53，－89）使四边形ACMN 为等腰梯形奉贤24．解：（1）由题意得，抛物线22yax bx 经过点A (－2，0)和点B (4，0)，代入得4220,16420.a b a b 解得1,41.2a b·························································· （2分）因此，这条抛物线的表达式是211242yx x . ·············································· （1分） 它的对称轴是直线1x. ····························································································· （1分） （2）①由抛物线的表达式211242yx x ，得顶点D 的坐标是（1，94）. ······ （1分） ∴9,1,4134DCOC BC .∵D 是抛物线顶点，CD ⊥x 轴，E 是BD 中点，∴CE BE . ∴EBCECB .∵ECBOCF ，∴EBC OCF . ······························································ （1分） 在Rt △DCB 中，90DCB，34cot 934BC EBCDC ． 在Rt △OFC 中，90FOC ，cot OCOCFOF． ∴143OF =，34OF．∴点F 的坐标是（0，34）． ············································ （2分） ②∵12DBC S BC DC ∆=⋅⋅，12BCF S BC OF ∆=⋅⋅， ∴DBC BCF SDC S OF ．····················· （1分）∵△DBC 的面积是△BCF 面积的32， ∴32DCOF． ·················································· （1分） 由①得BDC OFC ，又90DCBFOC ，∴△DCB ∽△FOC ．∴DC CB OFOC=． ········································································· （1分）又OB =4，∴342OC OC -=，∴85OC =．即点C 坐标是8(,0)5. （1分） 金山24.解：（1）把点()2,1--A ，()10，B 代入c bx x y ++-=2得⎩⎨⎧=+--=-c c b 112解得⎩⎨⎧==1c 2b∴抛物线的关系式为：122++-=x x y （2分） 得()212+--=x y ； （1分）∴顶点坐标为()21，P . （1分） （2）①设抛物线平移后为()2121++--=m x y ，代入点()1,0-'B 得()2112+--=-m ，解得131+=m ，132+-=m （舍去）；∴()2321++-=x y ，得顶点()2,3-'P （2分） 连结B P '，B P ''，作y H P ⊥'轴，垂足为H ，得3='H P ,1=HB ，213=+='B P∵3tan ='='∠BHHP BH P , （1分） ∴60='∠BH P , ∴12060180=-=''∠B B P . （1分） ②∵2='B B ,2='B P 即B P B B '=', ∴30=''∠=''∠B B P B P B ;∵线段B P ''以点B '为旋转中心顺时针旋转120，点P '落在点M 处;∴90='∠M B O ,P B M B ''=' ∴x B M //'轴，32=''='P B M B ;设B MN '∆在M B '边上的高为h ，得：362=⋅'='∆hM B S B MN ，解得6=h ； ∴设()7-，a N 或()5，a N 分别代入122++-=x x y 得1272++-=-a a 解得：4=a 或2-=a ∴()74-，N 或()72--，N ，1252++-=a a 方程无实数根舍去， ∴综上所述：当36='∆B MN S 时，点N 的坐标为()74-，N 或()72--，N . （2分+2分） 普陀 24．解：（1） 过点C 作CH ⊥OB ，垂足为点H ．∵直线243y x m =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴点A 的坐标是()6,0m ，点B 的坐标是()0,4m . ··················································· （2分） ∴6OA m =，4OB m =. ∵CH ⊥OB ，∴CH //OA ． ∴CH BH BCOA OB AB==． ·································································································· （1分） ∵2AB BC =，∴3CH m =，2BH m =.∴点C 的坐标是()3,6m m -.······················································································· （1分）（2） ∵抛物线21103y x bx =-++经过点A 、点C ，可得 221(6)6100,31(3)3106.3m m b m m b m ⎧-⨯+⋅+=⎪⎪⎨⎪-⨯--⋅+=⎪⎩ ··································································· （2分）∵0m >，解得 1,13m b =⎧⎪⎨=⎪⎩. ························································································ （1分）∴抛物线的表达式是2111033y x x =-++. ···························································· （1分）（3）过点P 分别作PQ ⊥OA 、垂足为点Q ．设点P 的坐标为211(,10)33n n n -++．可得OQ n =，2111033PQ n n =--．∵2PAB OBC S S =△△，2AB BC =．∴△PAB 与△OBC 等高，∴OP //AB . ·································································· （1分） ∴BAO POQ ∠=∠.∴tan tan BAO POQ ∠=∠.∴211102333n n n --=. ································································································· （1分）解得1n =，2n =（舍去）． ······················································· （1分） ∴点P的坐标是⎝⎭.································································· （1分） 杨浦24.（1）D （2,2） （2）22,0M a ⎛⎫-⎪⎝⎭（3）1长宁24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）解：（1） 点)0,0(O 、)0,6(A 在抛物线c bx x y ++=294上 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=0636940c b c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=038c b （ 2分）∴抛物线的解析式为x x y 38942-=，顶点B 的坐标是)4,3(- （ 2分）（2）∵)0,6(A ，)4,3(-B ∴34AB =k ，∵AB OP // ∴34OP =k ， 设点)4,3(k k Q ，因为 OAB OBA ∠>∠ ，所以 0>k（ 1分）∵OP 平行于AB ， QA 不平行于 OB ∴四边形OQAP 为梯形又∵OBA QAB ∠=∠ ∴四边形OQAP 为等腰梯形 ∴OA QB = （1分）∴36)44(3322=++-k k ）（ ∴2511=k 或1-=k （舍去） （1分）∴)2544,2533(Q （ 1分）（3）由（1）知4)3(94389422--=-=x x x y 设抛物线向左平移)0(>m m 个单位后的新抛物线表达式为4)3(942-+-=m x y 因为新抛物线与y 轴负半轴相交于点C 且顶点仍然在第四象限，设点C 的坐标为),0(c C所以30<<m ，04<<-c ，过点B 分别做作x 、y 轴垂线，垂足分别为点E 、F ∴43==BE BF BD BC︒=∠=∠90BED BFC ∴BCF ∆∽BDE ∆ ∴43==BD BC DE CF ∴433=-m CF ∴)3(43m CF -=∴ )3(4344m CF OC --=-= （2分） 又∵4)3(942-+-=m x y∴2)3(944m OC --=（1分） ∴ 2)3(944)3(434m m --=--∴16211=m 或者 32=m （舍去） ∴ 1621=m（1分）黄浦嘉定静安松江徐汇。